Esercizio su relazione d'ordine
Potete dirmi se è giusto lo svolgimento di questo esercizio? In particolare il punto 2, grazie mille.
Sull'insieme \(\displaystyle A = \{ (x, y) : x, y \in N, x, y >= 2 \} \) sia data la relazione \(\displaystyle * \) ponendo:
$ (a, b) * (c, d)$ se $a <= c$ e $ b|d $
1. Determinare massimali, minimali, massimo e minimo.
Ricerco i massimali. Se $ (a, b) $ è massimale:
$ (a, b) * (x, y) \Rightarrow (a, b) = (x, y) \forall (x, y) \in A $
Non esistono massimali infatti se $(a, b)$ è un elemento di A possiamo porre $x=a$ e $y=2b$ allora si ha che $(a, b) * (x, y)$ con $(x, y) \ne (a, b)$
Non esistendo massimali, non esiste massimo.
Ricerco i minimali. Essi sono tutti gli elementi di \(\displaystyle M = \{ (2, b) : b è primo \} \) infatti sia $ (2, b) \in M $ allora se $ (x, y) * (2, b)$ si ha che $ x <= 2 \Rightarrow x=2$ e $y | b \Rightarrow y = b$ poiché b è primo e $y \ne 1$ per definizione. Allora $(2, b)$ è massimale.
Sia adesso $(c, d)$ un massimale che non appartiene ad M, allora $ c \ne 2 $ o $ d $ non primo. Se $c \ne 2$ possiamo scegliere $ (2, d) * (c, d) $ e $(2, d) \ne (c, d)$ Perciò necessariamente $c = 2$
Sia allora $(2, d)$ con d non primo, allora \(\displaystyle \exists x \in N, x>=2, x|d \) perciò $(2, x) * (2, d)$ e quindi $(2, d)$ non è minimale.
Esistendo più di un elemento minimale non esiste minimo.
2. Sia $ D = \{ ( x, y ) \in A: x + y = 10 \} $ determinare, se esistono, estremo superiore ed estremo inferiore di D in A
Cerchiamo i minoranti di D, ovvero $(a, b) \in A : (a, b) * (x, y) \forall (x, y) \in D$ Prendiamo $(8, 2), (7, 3) \in D$ Allora se $(a,b)$ è minorante $(a, b) * (8, 2)$ e $(a, b) * (7, 3)$ ma ciò implica che $b | 2$ e $b | 3$ che non è possibile per $b>=2$ Allora non esistono minoranti e di conseguenza non esiste estremo inferiore.
Cerchiamo i maggioranti di D, ovvero $(a, b) \in A : (x, y) * (a, b) \forall (x, y) \in D$
Se $(a, b)$ è un maggiorante allora $x <= a \forall 2<= x <= 8$ allora $a >= 8$ Inoltre $\forall 2<=y<=8$ deve essere $y | b$ allora $b = k 840$ con $k \in N-\{0\}$ L'insieme dei maggioranti di D in A allora è:
$MAG = { (a, b) : a >= 8, b=k840, k \in N-\{0\}}$
$(8, 840)$ è il minimo dei maggioranti infatti $(8, 840) * (a, b), \forall (a, b) \in MAG$ poiché $a>= 8$ e $840 | k840$
Allora l'estremo superiore è $ (8, 840)$
Sull'insieme \(\displaystyle A = \{ (x, y) : x, y \in N, x, y >= 2 \} \) sia data la relazione \(\displaystyle * \) ponendo:
$ (a, b) * (c, d)$ se $a <= c$ e $ b|d $
1. Determinare massimali, minimali, massimo e minimo.
Ricerco i massimali. Se $ (a, b) $ è massimale:
$ (a, b) * (x, y) \Rightarrow (a, b) = (x, y) \forall (x, y) \in A $
Non esistono massimali infatti se $(a, b)$ è un elemento di A possiamo porre $x=a$ e $y=2b$ allora si ha che $(a, b) * (x, y)$ con $(x, y) \ne (a, b)$
Non esistendo massimali, non esiste massimo.
Ricerco i minimali. Essi sono tutti gli elementi di \(\displaystyle M = \{ (2, b) : b è primo \} \) infatti sia $ (2, b) \in M $ allora se $ (x, y) * (2, b)$ si ha che $ x <= 2 \Rightarrow x=2$ e $y | b \Rightarrow y = b$ poiché b è primo e $y \ne 1$ per definizione. Allora $(2, b)$ è massimale.
Sia adesso $(c, d)$ un massimale che non appartiene ad M, allora $ c \ne 2 $ o $ d $ non primo. Se $c \ne 2$ possiamo scegliere $ (2, d) * (c, d) $ e $(2, d) \ne (c, d)$ Perciò necessariamente $c = 2$
Sia allora $(2, d)$ con d non primo, allora \(\displaystyle \exists x \in N, x>=2, x|d \) perciò $(2, x) * (2, d)$ e quindi $(2, d)$ non è minimale.
Esistendo più di un elemento minimale non esiste minimo.
2. Sia $ D = \{ ( x, y ) \in A: x + y = 10 \} $ determinare, se esistono, estremo superiore ed estremo inferiore di D in A
Cerchiamo i minoranti di D, ovvero $(a, b) \in A : (a, b) * (x, y) \forall (x, y) \in D$ Prendiamo $(8, 2), (7, 3) \in D$ Allora se $(a,b)$ è minorante $(a, b) * (8, 2)$ e $(a, b) * (7, 3)$ ma ciò implica che $b | 2$ e $b | 3$ che non è possibile per $b>=2$ Allora non esistono minoranti e di conseguenza non esiste estremo inferiore.
Cerchiamo i maggioranti di D, ovvero $(a, b) \in A : (x, y) * (a, b) \forall (x, y) \in D$
Se $(a, b)$ è un maggiorante allora $x <= a \forall 2<= x <= 8$ allora $a >= 8$ Inoltre $\forall 2<=y<=8$ deve essere $y | b$ allora $b = k 840$ con $k \in N-\{0\}$ L'insieme dei maggioranti di D in A allora è:
$MAG = { (a, b) : a >= 8, b=k840, k \in N-\{0\}}$
$(8, 840)$ è il minimo dei maggioranti infatti $(8, 840) * (a, b), \forall (a, b) \in MAG$ poiché $a>= 8$ e $840 | k840$
Allora l'estremo superiore è $ (8, 840)$
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