Esercizio su prodotto semidiretto
Salve a tutti.
Ho da dimostrare che [tex]S_4\cong \mathbb{F}_2^2 \rtimes_\varphi S_3[/tex]. Spiego prima come l'ho fatto io. La richiesta di aiuto è in fondo.
L'idea che ho avuto io è questa:
Deve accadere che $\varphi: S_3 \rightarrow Aut(\mathbb{F}_2^2)\cong GL_2(\mathbb{F_2})$, sia un omomorfismo. Osservo che:
1) $S_3=<(1\ 2), (1\ 2\ 3)>$;
2) $|Aut(\mathbb{F}_2^2)|=|GL_2(\mathbb{F_2})|=(2^2 - 2^1)(2^2 - 2^0)=4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
Dalla 2) so che per Sylow c'è un elemento di ordine 3 ed un elemento di ordine 2 in $Aut(\mathbb{F_2^2})$. Dunque, ci sono effettivamente $\varphi$ omomorfismi non banali.
Con un abuso di notazione, prendo il seguente:
[tex]\varphi: (1\ 2) \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}[/tex], $\ \ $ [tex]\varphi: (1\ 2\ 3) \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}[/tex].
Osservando poi che in $S_3$ mancano tutte le coppie di 2-cici, prende forma l'idea che le coppie di 2-cicli mancanti le prendiamo a meno di isomorfismo da $\mathbb{F}_2^2$ per poter formare $S_4$, cioè si osserva che: $S_4=<(1\ 2), (1\ 2\ 3), (1\ 4)(2\ 3),(1\ 3)(2\ 4)>$, per cui il mio isomorfismo (che sarà da verificare!) lo scelgo così:
[tex]\psi: ((1,0), Id_3) \mapsto (1\ 4)(2\ 3)[/tex], $\ \ $ [tex]\psi: ((0,1),Id_3) \mapsto (1\ 3)(2\ 4)[/tex]
[tex]\psi: ((0,0), (1\ 2)) \mapsto (1\ 2)[/tex], $\ \ $ [tex]\psi: ((0,0),(1\ 2\ 3)) \mapsto (1\ 2\ 3)[/tex]
Così dico che $\psi((x,y),\sigma):=[(1\ 4)(2\ 3)]^x[(1\ 3)(2\ 4)]^y\sigma$ è l'isomorfismo che sto cercando.
(Da quanto detto sopra, a occhio direi che è suriettivo e l'elemento neutro va nell'elemento neutro)
mia richiesta: Il mio problema è che non riesco a dimostrare che è un isomorfismo e non sto capendo se sono io che non ci riesco oppure non è veramente un isomorfismo. Il problema principalmente è che non riesco a scrivere in modo generale l'operazione di gruppo:
So che $\forall \sigma \in S_3, \sigma= (1\ 2)^i (1\ 2\ 3)^j$ e dunque
$((x,y),\sigma)((u,v),\tau)=((x,y) + \varphi_{\sigma}(u,v),\sigma \tau)$ dove [tex]\varphi_{\sigma}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}^i \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}^j[/tex].
Ora, [tex]\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}^i = \begin{pmatrix} 1+i & i \\ i & 1+i\end{pmatrix}[/tex], ma per le potenze dell'altra matrice, non potendola scrivere in maniera compatta, non riesco nemmeno a verificare il caso generale...
Se si riuscisse ad uscirne ho pensato che potrebbe tornare utile il fatto che [tex]<(1\ 4)(2\ 3), (1\ 3)(2\ 4)>\
Ho da dimostrare che [tex]S_4\cong \mathbb{F}_2^2 \rtimes_\varphi S_3[/tex]. Spiego prima come l'ho fatto io. La richiesta di aiuto è in fondo.
L'idea che ho avuto io è questa:
Deve accadere che $\varphi: S_3 \rightarrow Aut(\mathbb{F}_2^2)\cong GL_2(\mathbb{F_2})$, sia un omomorfismo. Osservo che:
1) $S_3=<(1\ 2), (1\ 2\ 3)>$;
2) $|Aut(\mathbb{F}_2^2)|=|GL_2(\mathbb{F_2})|=(2^2 - 2^1)(2^2 - 2^0)=4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
Dalla 2) so che per Sylow c'è un elemento di ordine 3 ed un elemento di ordine 2 in $Aut(\mathbb{F_2^2})$. Dunque, ci sono effettivamente $\varphi$ omomorfismi non banali.
Con un abuso di notazione, prendo il seguente:
[tex]\varphi: (1\ 2) \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}[/tex], $\ \ $ [tex]\varphi: (1\ 2\ 3) \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}[/tex].
Osservando poi che in $S_3$ mancano tutte le coppie di 2-cici, prende forma l'idea che le coppie di 2-cicli mancanti le prendiamo a meno di isomorfismo da $\mathbb{F}_2^2$ per poter formare $S_4$, cioè si osserva che: $S_4=<(1\ 2), (1\ 2\ 3), (1\ 4)(2\ 3),(1\ 3)(2\ 4)>$, per cui il mio isomorfismo (che sarà da verificare!) lo scelgo così:
[tex]\psi: ((1,0), Id_3) \mapsto (1\ 4)(2\ 3)[/tex], $\ \ $ [tex]\psi: ((0,1),Id_3) \mapsto (1\ 3)(2\ 4)[/tex]
[tex]\psi: ((0,0), (1\ 2)) \mapsto (1\ 2)[/tex], $\ \ $ [tex]\psi: ((0,0),(1\ 2\ 3)) \mapsto (1\ 2\ 3)[/tex]
Così dico che $\psi((x,y),\sigma):=[(1\ 4)(2\ 3)]^x[(1\ 3)(2\ 4)]^y\sigma$ è l'isomorfismo che sto cercando.
(Da quanto detto sopra, a occhio direi che è suriettivo e l'elemento neutro va nell'elemento neutro)
mia richiesta: Il mio problema è che non riesco a dimostrare che è un isomorfismo e non sto capendo se sono io che non ci riesco oppure non è veramente un isomorfismo. Il problema principalmente è che non riesco a scrivere in modo generale l'operazione di gruppo:
So che $\forall \sigma \in S_3, \sigma= (1\ 2)^i (1\ 2\ 3)^j$ e dunque
$((x,y),\sigma)((u,v),\tau)=((x,y) + \varphi_{\sigma}(u,v),\sigma \tau)$ dove [tex]\varphi_{\sigma}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}^i \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}^j[/tex].
Ora, [tex]\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}^i = \begin{pmatrix} 1+i & i \\ i & 1+i\end{pmatrix}[/tex], ma per le potenze dell'altra matrice, non potendola scrivere in maniera compatta, non riesco nemmeno a verificare il caso generale...
Se si riuscisse ad uscirne ho pensato che potrebbe tornare utile il fatto che [tex]<(1\ 4)(2\ 3), (1\ 3)(2\ 4)>\
Risposte
Scusa non capisco, devi dimostrare solo che [tex]S_4 \cong \mathbb{F}_2^2 \rtimes S_3[/tex] o anche che l'azione di $S_3$ su $\mathbb{F}_2^2$ è equivalente a quella di $GL_2(2)$ tramite un isomorfismo $S_3 \cong GL_2(2)$?
Perché mostrare solo che [tex]S_4 \cong \mathbb{F}_2^2 \rtimes S_3[/tex] è relativamente semplice: basta mostrare che il sottogruppo normale $V$ di $S_4$ di ordine 4 ha intersezione banale con un qualsiasi stabilizzatore di un punto, che chiamiamo $H$, e che $VH = S_4$ (il che è ovvio dato che $|V|=4$, $|H|=6$, $V \cap H = 1$ quindi $|VH|=|V||H|=|S_4|$). Sto parlando di prodotto semidiretto interno. In altre parole sto usando il fatto (non difficile da dimostrare) che se hai un gruppo $G$ con un sottogruppo normale $V$, un sottogruppo $H$, tali che $VH=G$ e $V \cap H = \{1\}$ allora [tex]G \cong V \rtimes H[/tex].
Poi il fatto che l'azione di $S_3$ su $V$ è fedele e che è ovviamente $\mathbb{F}_2$-lineare (è un'azione di coniugio) ti dimostra che $S_3$ si immerge in $GL_2(2)$ e per questioni di ordine tale immersione è un isomorfismo.
Se questo non ti convince mi spieghi cosa esattamente vuoi dimostrare?
Perché mostrare solo che [tex]S_4 \cong \mathbb{F}_2^2 \rtimes S_3[/tex] è relativamente semplice: basta mostrare che il sottogruppo normale $V$ di $S_4$ di ordine 4 ha intersezione banale con un qualsiasi stabilizzatore di un punto, che chiamiamo $H$, e che $VH = S_4$ (il che è ovvio dato che $|V|=4$, $|H|=6$, $V \cap H = 1$ quindi $|VH|=|V||H|=|S_4|$). Sto parlando di prodotto semidiretto interno. In altre parole sto usando il fatto (non difficile da dimostrare) che se hai un gruppo $G$ con un sottogruppo normale $V$, un sottogruppo $H$, tali che $VH=G$ e $V \cap H = \{1\}$ allora [tex]G \cong V \rtimes H[/tex].
Poi il fatto che l'azione di $S_3$ su $V$ è fedele e che è ovviamente $\mathbb{F}_2$-lineare (è un'azione di coniugio) ti dimostra che $S_3$ si immerge in $GL_2(2)$ e per questioni di ordine tale immersione è un isomorfismo.
Se questo non ti convince mi spieghi cosa esattamente vuoi dimostrare?
Grazie per la risposta, comunque volevo semplicemente dimostrare l'isomorfismo tra i due gruppi costruendomelo da zero usando quanto più è possibile la sola teoria sui prodotti semidiretti. Volevo capire se i conti che ho fatto io possono o meno essere fondati e capire se l'isomorfismo che ho trovato è veramente tale, ma io non riesco a verificarlo, oppure è tutto una panzana e devo ricominciare tutto con altre idee.
Non capisco qual è la reale difficoltà. Le potenze di [tex]\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)[/tex] sono [tex]\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)[/tex], [tex]\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)[/tex], [tex]\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)[/tex].
Se vuoi un'espressione generale [tex]\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)^j = \left( \begin{array}{cc} F_{j-1} & F_j \\ F_j & F_{j+1} \end{array} \right)[/tex] dove $F_j$ è la sequenza di Fibonacci, $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{j+1} = F_{j-1}+F_j$. Ma non credo ti convenga usarla.
Il punto è che per mostrare che quello che hai scritto è un omomorfismo l'idea è che devi mostrare che dati generatori di $S_3$ agiscono su $V = \mathbb{F}_2^2$ esattamente come i corrispondenti elementi di $GL_2(2)$. Cioè devi mostrare che tramite l'isomorfismo scelto $S_3 \cong GL_2(2)$ l'azione su $V$ è la stessa! E questo basta controllarlo sui generatori.
Se vuoi un'espressione generale [tex]\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)^j = \left( \begin{array}{cc} F_{j-1} & F_j \\ F_j & F_{j+1} \end{array} \right)[/tex] dove $F_j$ è la sequenza di Fibonacci, $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, $F_{j+1} = F_{j-1}+F_j$. Ma non credo ti convenga usarla.
Il punto è che per mostrare che quello che hai scritto è un omomorfismo l'idea è che devi mostrare che dati generatori di $S_3$ agiscono su $V = \mathbb{F}_2^2$ esattamente come i corrispondenti elementi di $GL_2(2)$. Cioè devi mostrare che tramite l'isomorfismo scelto $S_3 \cong GL_2(2)$ l'azione su $V$ è la stessa! E questo basta controllarlo sui generatori.
Grazie mille per la risposta. L'importante è che io non abbia scritto frottole... Ad ogni modo grazie per le risposte e per il metodo veloce che mi hai indicato.
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