Esercizio su principio di induzione

[GlassPrisoner91]

Salve, sto tentando di capire il procedimento per svolgere un esercizio sul principio di induzione, teoricamente credo di aver abbastanza capito ma in pratica ho alcune difficoltà. L'esercizio che sto provando è questo:

Stabilire per quali $n$ naturali si ha $2^n < n!$

So che bisogna innanzitutto dimostrare il caso base, ovvero che la proprietà vale per il più piccolo $n$ naturale. In questo caso la proprietà è valida a partire da $n = 4$. Infatti:
$2^4 < 4!$
...ora ipotizzando la proprietà valida per $n$ dobbiamo dimostrare che vale per $n + 1$, correggetemi se sbaglio, quindi dobbiamo dimostrare la seguente validità:
$2^(n+1) < (n+1)!$
...ora qui iniziano i miei dubbi, come dimostro con passaggi algebrici la teoria?
Io svolgerei in questo modo ma non so se è corretto:
$2^(n+1) = 2 * 2^n < (n+1)! = (n+1) * n!$
...poi non so se e come continuare, sempre se ho scritto bene.

[axpgn]

Sei partito dalla tesi, un classico ...

Tu sai che $2^(n+1)=2*2^n$, ora dato che per ipotesi induttiva è $2^n1$ è pure $2*n!<(n+1)*n!$.
Se adesso rimetti in fila la catena di disuguaglianze ti ritrovi la dimostrazione della tesi, ovvero $2^n\ 2*2^n<2*n!<(n+1)*n!\ =>\ 2^(n+1)<(n+1)!$

[Gi81]

Quello che hai scritto è corretto, ma va messo giù meglio.
Dobbiamo dimostrare che per ogni $n>=4$ si ha $2^n 2^(n+1) < (n+1)!$. Si ha
\[ \begin{align*}
2^{n+1} =& 2 \cdot 2^n \\
<& 2 \cdot n! \qquad (\text{per ipotesi induttiva})\\
<& (n+1) \cdot n! \qquad (\text{in quanto }n \geqslant 4)\\
=& (n+1)!
\end{align*} \]
Fine.

[GlassPrisoner91]

Credo di aver capito, grazie. Era più facile di quanto pensassi.