Esercizio su polinomi e campi finiti
Ho il seguente esercizio:
Considerato il seguente polinomio in $Z_5[t]$,determinarne le radici in $Z_5$ e scriverlo come prodotto di polinomi irriducibili su $Z_5$.
$f(t)=3t^3+4t^2+3$
Io ho ragionato così:
poichè $f(1)=f(3)=0$ $1,3$ sono radici in $Z_5$ di $f(t)$ per cui posso riscriverlo come:
$f(t)=3t^3+4t^2+3=(t-1)(t-3)g(t)$
a questo punto inizia il diverbio tra quello che ho fatto io e il libro,io ho continuato così:
$=(t^2-4t+3)g(t)$
quindi $g(t)$ lo trovo svolgendo $(3t^3+4t^2+3)":"(t^2-4t+3)$ che sarebbe $(3t+16)(t^2-4t+3)+(55t-45)$ quindi dovrebbe essere $g(t)=3t+16$
mentre il mio libro continua così:
$=(t^2+t+3)g(t)$
poichè
$3(t^3+4t^2+3)":"(t^2+t+3)=3t+1$
risulta alla fine
$3t^3+4t^2+3=(t-1)(t-3)(3t+1)$
vedendo i numeri strani che vengono a me direi che è giusto il suo procedimento,ma perchè?in cosa e perchè avrei sbagliato?perchè il libro usa quel procedimento?come andava ragionato?
Considerato il seguente polinomio in $Z_5[t]$,determinarne le radici in $Z_5$ e scriverlo come prodotto di polinomi irriducibili su $Z_5$.
$f(t)=3t^3+4t^2+3$
Io ho ragionato così:
poichè $f(1)=f(3)=0$ $1,3$ sono radici in $Z_5$ di $f(t)$ per cui posso riscriverlo come:
$f(t)=3t^3+4t^2+3=(t-1)(t-3)g(t)$
a questo punto inizia il diverbio tra quello che ho fatto io e il libro,io ho continuato così:
$=(t^2-4t+3)g(t)$
quindi $g(t)$ lo trovo svolgendo $(3t^3+4t^2+3)":"(t^2-4t+3)$ che sarebbe $(3t+16)(t^2-4t+3)+(55t-45)$ quindi dovrebbe essere $g(t)=3t+16$
mentre il mio libro continua così:
$=(t^2+t+3)g(t)$
poichè
$3(t^3+4t^2+3)":"(t^2+t+3)=3t+1$
risulta alla fine
$3t^3+4t^2+3=(t-1)(t-3)(3t+1)$
vedendo i numeri strani che vengono a me direi che è giusto il suo procedimento,ma perchè?in cosa e perchè avrei sbagliato?perchè il libro usa quel procedimento?come andava ragionato?
Risposte
[tex]16=1[/tex] 
uh che sbadato! 
...quindi il mio procedimento va bene solo quella dannata distrazione?
...quindi il mio procedimento va bene solo quella dannata distrazione?
Hai ottenuto [tex]g(t)=3t+16=3t+1[/tex], non hai fatto errori.
Ti ringrazio!
Vorrei evitare di aprire un altro topic per un esercizio simile, quindi lo metto qua, nella speranza che qualcuno legga
Un esercizio mi chiedeva la determinazione di un generatore del gruppo moltiplicativo di $GF(9)$.
Alchè mi son messo a costruire la tabella della moltiplicazione in $GF(9)$, usando il polinomio irriducibile su $ZZ_3$
$v(t)=t^2+1$
Nel confrontare la mia tabella con quella riportata sul libro, dove invece viene usato il polinomio $f(t)=t^2+t+2$, ho notato che $(1,1)(2,2)=2t^2+t+2$ dava risultati diversi...
Sul libro $(2t^2+t+2):(t^2+t+2)=2(t^2+t+2) + (1+2t)$ e quindi $(1,1)(2,2)=(1,2)$
Usando invece il mio polinomio $v(t)$ si ha $(2t^2+t+2):(t^2+1)=2(t^2+1) + t$ e quindi $(1,1)(2,2)=(0,1)$
Non dovrebbero essere identici i risultati?
Poi ho notato anche un'altra cosa.
Ovviamente $(1,1)(2,2)=2t^2+$4t$+2$ che poi ridotto modulo 3 porta, come indicato nel libro, $2t^2+t+2$.
Bene, ora in teoria se riduco modulo 3 PRIMA di eseguire la divisione o DOPO aver eseguito la divisione, il risultato non dovrebbe essere lo stesso?
Usando $f(t)=t^2+t+2$ del libro ho che
$(2t^2+4t+2)=2(t^2+t+2)+(2t-2)$ $\to$ (2,2)
$(2t^2+t+2)=2(t^2+t+2)+(-t-2)$ $\to$ (2,1)
Con il mio polinomio $v(t)=t^2+1$ ho che
$(2t^2+4t+2)=2(t^2+1)+4t$ $\to$ (0,1)
$(2t^2+t+2)=2(t^2+1)+t$ $\to$ (0,1)
Quindi il mio sembrerebbe essere più coerente.. Dov'è l'errore?
Un esercizio mi chiedeva la determinazione di un generatore del gruppo moltiplicativo di $GF(9)$.
Alchè mi son messo a costruire la tabella della moltiplicazione in $GF(9)$, usando il polinomio irriducibile su $ZZ_3$
$v(t)=t^2+1$
Nel confrontare la mia tabella con quella riportata sul libro, dove invece viene usato il polinomio $f(t)=t^2+t+2$, ho notato che $(1,1)(2,2)=2t^2+t+2$ dava risultati diversi...
Sul libro $(2t^2+t+2):(t^2+t+2)=2(t^2+t+2) + (1+2t)$ e quindi $(1,1)(2,2)=(1,2)$
Usando invece il mio polinomio $v(t)$ si ha $(2t^2+t+2):(t^2+1)=2(t^2+1) + t$ e quindi $(1,1)(2,2)=(0,1)$
Non dovrebbero essere identici i risultati?
Poi ho notato anche un'altra cosa.
Ovviamente $(1,1)(2,2)=2t^2+$4t$+2$ che poi ridotto modulo 3 porta, come indicato nel libro, $2t^2+t+2$.
Bene, ora in teoria se riduco modulo 3 PRIMA di eseguire la divisione o DOPO aver eseguito la divisione, il risultato non dovrebbe essere lo stesso?
Usando $f(t)=t^2+t+2$ del libro ho che
$(2t^2+4t+2)=2(t^2+t+2)+(2t-2)$ $\to$ (2,2)
$(2t^2+t+2)=2(t^2+t+2)+(-t-2)$ $\to$ (2,1)
Con il mio polinomio $v(t)=t^2+1$ ho che
$(2t^2+4t+2)=2(t^2+1)+4t$ $\to$ (0,1)
$(2t^2+t+2)=2(t^2+1)+t$ $\to$ (0,1)
Quindi il mio sembrerebbe essere più coerente.. Dov'è l'errore?
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