Esercizio su permutazioni e gruppi ciclici.
Salve a tutti. Ho un esame a breve, nessun compagno di corso che possa aiutarmi e non posso sfruttare il ricevimento del docente, quindi spero che possiate aiutarmi voi.
L'esercizio è questo:
1. Data la permutazione
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14) =a
(7 13 12 3 8 2 14 4 10 6 5 11 9 1)
sia G =
Provare che D={ s | o(s) è dispari}
è un gruppo ciclico e determinarne un generatore.
(spero si capisca, non riesco a fare di meglio con le formule)
Ora, vi spiego come ho provato a risolverlo:
innanzitutto ho calcolato il periodo di a: o(a)=m.c.m.(3,5,6)=30
poi mi sono resa conto che, affinchè una potenza di a abbia periodo dispari, è necessario che venga "eliminato" quel 6 da m.c.m.
Quindi ho visto che, per non avere elementi pari in m.c.m.,è necessario che la potenza di a non sia divisibile per 3(mod 6), ho imposto k∈{0,2,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16,17,18,19,20,22,23,24,25,26,28,29}
e quindi D è l'insieme delle potenze k di a.
Fino qui penso di aver fatto bene.
Per provare che D è un gruppo ciclico, basta vedere che D è sottogruppo di G (in quanto G ciclico, e i sottogruppi di un gruppo ciclico sono tutti ciclici). Purtroppo non riesco a provare che D è chiuso rispetto alla moltiplicazione perchè, prese le potenze 2 e 7 di a, moltiplicandole fra di loro, ottengo la potenza 9 di a (che non appartiene a D).
Io credo che l'errore sia qui. Invece, se l'errore non fosse qui, e il resto del mio ragionamento fosse giusto, allora, probabilmente, D è ciclico, ma non è sottogruppo di G. Quindi come provare che è ciclico? Con la definizione? Ma in questo caso avrei bisogno di un generatore. Come determinare un generatore di D?
L'esercizio è questo:
1. Data la permutazione
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14) =a
(7 13 12 3 8 2 14 4 10 6 5 11 9 1)
sia G =
Provare che D={ s | o(s) è dispari}
è un gruppo ciclico e determinarne un generatore.
(spero si capisca, non riesco a fare di meglio con le formule)
Ora, vi spiego come ho provato a risolverlo:
innanzitutto ho calcolato il periodo di a: o(a)=m.c.m.(3,5,6)=30
poi mi sono resa conto che, affinchè una potenza di a abbia periodo dispari, è necessario che venga "eliminato" quel 6 da m.c.m.
Quindi ho visto che, per non avere elementi pari in m.c.m.,è necessario che la potenza di a non sia divisibile per 3(mod 6), ho imposto k∈{0,2,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16,17,18,19,20,22,23,24,25,26,28,29}
e quindi D è l'insieme delle potenze k di a.
Fino qui penso di aver fatto bene.
Per provare che D è un gruppo ciclico, basta vedere che D è sottogruppo di G (in quanto G ciclico, e i sottogruppi di un gruppo ciclico sono tutti ciclici). Purtroppo non riesco a provare che D è chiuso rispetto alla moltiplicazione perchè, prese le potenze 2 e 7 di a, moltiplicandole fra di loro, ottengo la potenza 9 di a (che non appartiene a D).
Io credo che l'errore sia qui. Invece, se l'errore non fosse qui, e il resto del mio ragionamento fosse giusto, allora, probabilmente, D è ciclico, ma non è sottogruppo di G. Quindi come provare che è ciclico? Con la definizione? Ma in questo caso avrei bisogno di un generatore. Come determinare un generatore di D?
Risposte
Vediamo l'esercizio (1). Se ho capito bene, il testo è il seguente?
1. Data la permutazione \[ \alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ 7 & 13 & 12 & 3 & 8 & 2 & 14 & 4 & 10 & 6 & 5 & 11 & 9 & 1 \end{pmatrix}\;, \] e il sottogruppo \(G = \langle \alpha\rangle \subset S_{14}\) dimostrare che \(\displaystyle D = \{ \sigma\in G : o(\sigma) \text{ è dispari} \}\) è un sottogruppo ciclico.
Supponendo che questo sia il testo, per prima cosa bisogna osservare che ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico (sai dire il perché ?). Pertanto quello che devi dimostrare è che \(D \) è un sottogruppo. Al fine di dimostrare questo devi dimostrare che \(\sigma\eta^{-1} \in D\) per ogni \(\sigma,\eta\in D\).
Con un semplice calcolo si ricava che \(\displaystyle \alpha = (1,7,14)(2,13,9,10,6)(3,12,11,5,8,4) \). I primi due cicli non pongono problemi il terzo impone che \(\displaystyle \alpha^s \in D \) se e solo se \(\displaystyle s = 2k \) per \(\displaystyle k\in \mathbb{Z} \). È evidente che \(\displaystyle \alpha^{2k}\alpha^{-2t} = \alpha^{2k-2t} = \alpha^{2(k-t)}\in D \).
Nota che \(\displaystyle s=5 \) non va bene perché \(\displaystyle (3,12,11,5,8,4)^5 = (3,12,11,5,8,4)^{-1} = (3,4,8,5,11,12) \) quindi il tuo ragionamento non era corretto.
1. Data la permutazione \[ \alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \\ 7 & 13 & 12 & 3 & 8 & 2 & 14 & 4 & 10 & 6 & 5 & 11 & 9 & 1 \end{pmatrix}\;, \] e il sottogruppo \(G = \langle \alpha\rangle \subset S_{14}\) dimostrare che \(\displaystyle D = \{ \sigma\in G : o(\sigma) \text{ è dispari} \}\) è un sottogruppo ciclico.
Supponendo che questo sia il testo, per prima cosa bisogna osservare che ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico (sai dire il perché ?). Pertanto quello che devi dimostrare è che \(D \) è un sottogruppo. Al fine di dimostrare questo devi dimostrare che \(\sigma\eta^{-1} \in D\) per ogni \(\sigma,\eta\in D\).
Con un semplice calcolo si ricava che \(\displaystyle \alpha = (1,7,14)(2,13,9,10,6)(3,12,11,5,8,4) \). I primi due cicli non pongono problemi il terzo impone che \(\displaystyle \alpha^s \in D \) se e solo se \(\displaystyle s = 2k \) per \(\displaystyle k\in \mathbb{Z} \). È evidente che \(\displaystyle \alpha^{2k}\alpha^{-2t} = \alpha^{2k-2t} = \alpha^{2(k-t)}\in D \).
Nota che \(\displaystyle s=5 \) non va bene perché \(\displaystyle (3,12,11,5,8,4)^5 = (3,12,11,5,8,4)^{-1} = (3,4,8,5,11,12) \) quindi il tuo ragionamento non era corretto.
Quindi, in conclusione, voglio che gli esponenti degli elementi in D siano tutti pari.
Grazie mille, sei stato chiarissimo
(e hai anche indovinato la traccia).
Grazie mille, sei stato chiarissimo
(e hai anche indovinato la traccia).
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