Esercizio su permutazioni
Come lo risolvereste? Non ho proprio idee su come procedere.
Risposte
Io partirei col trovare la scomposizione in cicli disgiunti di \( \alpha \) e \( \beta \)... (Non è una cosa necessaria per svolgere l'esercizio, ma è di fatto il modo più comodo per maneggiare elementi di \( S_{12} \); inoltre dopo averlo fatto potrebbe accendertisi la lampadina 
)
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E così sia:
Le due permutazioni appartengono al sottogruppo G.
Come faccio a dimostrare che esiste un elemento di G fatto in questo modo?
a = (1 3 5 7 9)(2 4 6 8 10)(11 12) b = (1 6 8 10)(2 3 5 7)(4 9)(11 12)
Le due permutazioni appartengono al sottogruppo G.
Come faccio a dimostrare che esiste un elemento di G fatto in questo modo?
g = (1 4 . . . ) ... ( . . . )
Due cose che potrebbero servirti:
Se \( \alpha \,, \ \beta \ \in G \) sottogruppo, allora ogni elemento del tipo \( \alpha^m \cdot \beta^n \ {\rm con} \ m \,, \ n \ \in \mathbb{Z} \) sta in \( G \).
Non esiste un ciclo nelle precedenti scomposizioni che contenga sia \( 1 \) che \( 4 \), quindi non sarebbe sufficiente sapere solo che \( \alpha \in G \), o solo che \( \beta \in G \)...
Se \( \alpha \,, \ \beta \ \in G \) sottogruppo, allora ogni elemento del tipo \( \alpha^m \cdot \beta^n \ {\rm con} \ m \,, \ n \ \in \mathbb{Z} \) sta in \( G \).
Non esiste un ciclo nelle precedenti scomposizioni che contenga sia \( 1 \) che \( 4 \), quindi non sarebbe sufficiente sapere solo che \( \alpha \in G \), o solo che \( \beta \in G \)...
Non ricordo di aver studiato un teorema/proposizione del genere. In ogni caso non ho afferrato il tuo consiglio.
Considera \( \delta = ( \ 1 \ 6 \ 8 \ 10 \ ) \), hai \(\delta(1)=6, \ \delta^2(1)=8, \ \delta^3(1)=10, \ \delta^4(1) = 1, \ldots \) non c'è modo che tu riesca, iterando \( \delta \) ad ottenere \( 4 \), perché \( 4 \) non compare nel ciclo. Devi trovare un prodotto di potenze di \( \alpha \) e \( \beta \) che mandi \( 1 \) in \( 4 \), ci puoi arrivare per tentativi, ma se consideri un ciclo di \( \alpha \) che contiene \( 1 \) e un ciclo di \( \beta \) che contiene \( 4 \) (o viceversa) e nei due cicli trovi almeno un numero in comune, hai finito. Capisci perché?
Mi unisco alla discussione, ho provato a risolverlo e sono arrivato a questa conclusione
$\alpha^4 = (1,9,7,5,3)(2,10,8,6,4)$
$\beta = (1,6,8,10)(2,3,5,7)(4,9)(11,12)$
Quindi il $\gamma(1) = 4$ sarà
$\gamma=\beta*\alpha^4 = (1,4,3,6,9,2)(11,12)$
è giusto?
$\alpha^4 = (1,9,7,5,3)(2,10,8,6,4)$
$\beta = (1,6,8,10)(2,3,5,7)(4,9)(11,12)$
Quindi il $\gamma(1) = 4$ sarà
$\gamma=\beta*\alpha^4 = (1,4,3,6,9,2)(11,12)$
è giusto?
"Thurazastra":
è giusto?
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