Esercizio su Ideali
Salve a tutti.
Sono alle prese con un nuovo esercizio sugli ideali, di cui non conosco la soluzione.
Si consideri in $Z$ l'ideale $I =(12 + 4i)$
a) Trovare l'ideale $J = I nn Z$
b) Trovare il nucleo dell'omomorfismo $\varphi : Z -> Z_/I$ definito da $\varphi (x) = x + I$
c) Dedurre che $Z_/I$ è isomorfo a $Z_40$
d) Usare c) per verificare che $15 + 4i + I$ è invertibile in $Z_/I$ e trovare l'inverso.
Rispetto ad a), credo che $ J = I$ poichè $mcm(12 + 4i, 1) = 12 + 4i$
Di b), c), d) ho idee ancora poco chiare.
Sono alle prese con un nuovo esercizio sugli ideali, di cui non conosco la soluzione.
Si consideri in $Z$ l'ideale $I =(12 + 4i)$
a) Trovare l'ideale $J = I nn Z$
b) Trovare il nucleo dell'omomorfismo $\varphi : Z -> Z_/I$ definito da $\varphi (x) = x + I$
c) Dedurre che $Z_/I$ è isomorfo a $Z_40$
d) Usare c) per verificare che $15 + 4i + I$ è invertibile in $Z_/I$ e trovare l'inverso.
Rispetto ad a), credo che $ J = I$ poichè $mcm(12 + 4i, 1) = 12 + 4i$
Di b), c), d) ho idee ancora poco chiare.
Risposte
per il punto b) seguendo la definizione di nucleo di un omomorfismo, risulterebbe che $\varphi(x) = 0$ se $ x in I$ per cui il nucleo di $\varphi()$ è $I$
"emanuele78":Non può essere [tex]J=I[/tex] dato che [tex]I[/tex] non è contenuto in [tex]\mathbb{Z}[/tex], mentre [tex]J[/tex] sì.
Si consideri in $Z$ l'ideale $I =(12 + 4i)$
a) Trovare l'ideale $J = I nn Z$
[...]
Rispetto ad a), credo che $ J = I$ poichè $mcm(12 + 4i, 1) = 12 + 4i$
Prova a scrivere [tex]12+4i=4(3+i)[/tex]. Quando puoi scrivere un intero nella forma [tex]4(3+i)x[/tex] con [tex]x \in \mathbb{Z}[/tex]? Ragiona sulla norma.
Innanzi tutto ti ringrazio.
Voglio fare una piccola premessa, ho l'esame di algebra tra 20 gg, ed ho cambiato Università quindi pur rimanendo lo stesso il programma che avevo studiato, i temi di esame si concentrano in aree diverse. In particolare il prof. si concentra molto sugli Ideali stando ai temi di esame che mi ha, generosamente offerto pur senza soluzione. Da qui i miei quesiti.
Ritornando all'esercizio, effettivamente posso scrivere l'intero se moltiplico il numero complesso per il suo coniugato, cioè ottengo la Norma.
Per cui $4(3 + i)(3 - i) = 4*10 = 40$, a questo punto dovrebbe seguire che $I nn Z = 40_Z$. corretto ??
Il risultato dovrebbe anche rispondere al quesito c) cioè per ogni numero complesso che si azzera in $Z_/I$ la sua norma si azzera in $Z_40$.
In merito al quesito b) è corretto il mio risultato?
Alla luce delle nuove riflessioni cerco di dare una risposta al quesito d)
Grazie ancora.
Emanuele
Voglio fare una piccola premessa, ho l'esame di algebra tra 20 gg, ed ho cambiato Università quindi pur rimanendo lo stesso il programma che avevo studiato, i temi di esame si concentrano in aree diverse. In particolare il prof. si concentra molto sugli Ideali stando ai temi di esame che mi ha, generosamente offerto pur senza soluzione. Da qui i miei quesiti.
Ritornando all'esercizio, effettivamente posso scrivere l'intero se moltiplico il numero complesso per il suo coniugato, cioè ottengo la Norma.
Per cui $4(3 + i)(3 - i) = 4*10 = 40$, a questo punto dovrebbe seguire che $I nn Z = 40_Z$. corretto ??
Il risultato dovrebbe anche rispondere al quesito c) cioè per ogni numero complesso che si azzera in $Z_/I$ la sua norma si azzera in $Z_40$.
In merito al quesito b) è corretto il mio risultato?
Alla luce delle nuove riflessioni cerco di dare una risposta al quesito d)
Grazie ancora.
Emanuele
Per quanto riguarda l'esercizio d) sono arrivato alla seguente conclusione.
Se è $15 + 4i + I$ l'elemento invertibile nell'insieme Complesso per verificarlo sfrutto l'isoformismo che esiste tra $Z_/I$ e $Z_40$, coì come anche consigliato. La norma dell'elemento $15 + 4i + 12 + 4i = 27 + 8i$ è uguale a $793$. Considerando l'isomorfismo in $Z_40$ deduco che l'elemento invertibile è $x : 793*x -= 1 (mod 40)$ e cioè $33*x -= 1 (mod 40)$ da cui $x = 17$. La cui fattorizzazione nei complessi è $17 = (4 + i)(4-i)$
Corretto?
Se è $15 + 4i + I$ l'elemento invertibile nell'insieme Complesso per verificarlo sfrutto l'isoformismo che esiste tra $Z_/I$ e $Z_40$, coì come anche consigliato. La norma dell'elemento $15 + 4i + 12 + 4i = 27 + 8i$ è uguale a $793$. Considerando l'isomorfismo in $Z_40$ deduco che l'elemento invertibile è $x : 793*x -= 1 (mod 40)$ e cioè $33*x -= 1 (mod 40)$ da cui $x = 17$. La cui fattorizzazione nei complessi è $17 = (4 + i)(4-i)$
Corretto?
"emanuele78":Che sia [tex]I \cap \mathbb{Z} = 40 \mathbb{Z}[/tex] è vero, ma non l'hai dimostrato. Ti invito a dimostrarlo rigorosamente.
Per cui $4(3 + i)(3 - i) = 4*10 = 40$, a questo punto dovrebbe seguire che $I nn Z = 40_Z$. corretto ??
Beh l'assunto dovrebbe seguire dalla definizione della Norma che è un funzione biettiva che associa ad ogni numero complesso un corrispondente numero intero per cui applicando la funzione Norma all'ideale definito nel campo dei Complessi, ottengo $40_Z$ $=>$ che $40_Z nn Z = 40_Z$
Tra l'altro così come ho descritto ottengo l'isomorfismo cercato tra l'Ideale $I$ e $Z_40$.
Tra l'altro così come ho descritto ottengo l'isomorfismo cercato tra l'Ideale $I$ e $Z_40$.
"emanuele78":Ad essere onesto, non ho capito niente. Potresti essere più chiaro?
Beh l'assunto dovrebbe seguire dalla definizione della Norma che è un funzione biettiva che associa ad ogni numero complesso un corrispondente numero intero per cui applicando la funzione Norma all'ideale definito nel campo dei Complessi, ottengo $40_Z$ $=>$ che $40_Z nn Z = 40_Z$.
Per inciso, la funzione norma non è biiettiva (almeno non finché non specifichi dominio e codominio, e credo neanche allora). Se devi fare un esame devi giustificare ogni cosa con precisione. Io ti consiglierei di dimostrare entrambe le inclusioni [tex]40 \mathbb{Z} \subseteq I \cap \mathbb{Z}[/tex] e [tex]I \cap \mathbb{Z} \subseteq 40 \mathbb{Z}[/tex].
Forse non ho ben capito cosa dimostrare. Vediamo un pò.
Io penso che che nel quesito ci siano due cose da dimostrare la 1° è che il numero intero associato a quello complesso sia $40$, dopodichè dimostrare che $40Z nn Z$ sia uguale $40Z$.
Per il 1° quesito come già mi avevi fatto notare $Z$ non contiene $I$, quindi devo trovare il numero intero associato ad $I$, per farlo utilizzo la funzione Norma, da cui segue che $40$ è il numero cercato, e quindi $40Z$ è l'insieme di cui dovrò trovare l'intersezione con $Z$
Per il 2° quesito devo dimostrare che $I nn Z$ cioè $40Z nn Z = 40Z$, l'Ideale cercato è l'intersezione tra i due insiemi, cioè un Ideale che contiene contestualmente sia elementi di $40Z$ e $Z$, devo altresì trovare $mcm(40,1) = 40$ quindi $40Z$ è l'ideale cercato.
Spero sia questa, altrimenti riprovo.
Io penso che che nel quesito ci siano due cose da dimostrare la 1° è che il numero intero associato a quello complesso sia $40$, dopodichè dimostrare che $40Z nn Z$ sia uguale $40Z$.
Per il 1° quesito come già mi avevi fatto notare $Z$ non contiene $I$, quindi devo trovare il numero intero associato ad $I$, per farlo utilizzo la funzione Norma, da cui segue che $40$ è il numero cercato, e quindi $40Z$ è l'insieme di cui dovrò trovare l'intersezione con $Z$
Per il 2° quesito devo dimostrare che $I nn Z$ cioè $40Z nn Z = 40Z$, l'Ideale cercato è l'intersezione tra i due insiemi, cioè un Ideale che contiene contestualmente sia elementi di $40Z$ e $Z$, devo altresì trovare $mcm(40,1) = 40$ quindi $40Z$ è l'ideale cercato.
Spero sia questa, altrimenti riprovo.
Guarda, veramente non capisco cosa stai dicendo.
"emanuele78":Cos'è il numero intero "associato" a un numero complesso?
Io penso che che nel quesito ci siano due cose da dimostrare la 1° è che il numero intero associato a quello complesso sia $40$
dopodichè dimostrare che $40Z nn Z$ sia uguale $40Z$No, non devi dimostrare questo. Il fatto che [tex]40 \mathbb{Z} \cap \mathbb{Z} = 40 \mathbb{Z}[/tex] è evidente, dato che [tex]40 \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}[/tex]. Non è questo che devi dimostrare. Quello che devi dimostrare è che [tex]((12+4i) \mathbb{Z}) \cap \mathbb{Z} = 40 \mathbb{Z}[/tex].
Per il 1° quesito come già mi avevi fatto notare $Z$ non contiene $I$, quindi devo trovare il numero intero associato ad $I$"Associato"?
Farò delle ipotesi, quindi spero di non dire troppe fesserie.
Dovrebbe essere che $Z sub Z$, dove $Z$ rappresenta quei complessi con coefficienti interi, se $I = 12 + 4i in Z$ è l'ideale così definito, allora per trovare $(12 + 4i)Z nn Z$ bisogna vedere se esiste un numero complesso $a + bi in Z$ $:$ $(12 + 4i)(a + bi) = m in Z$ se tale numero $a + bi$ esiste allora esiste pure l'intersezione tra i due insiemi $mZ nn Z$.
Spero sia questa, altrimenti mi arrendo.
Dovrebbe essere che $Z sub Z$, dove $Z$ rappresenta quei complessi con coefficienti interi, se $I = 12 + 4i in Z$ è l'ideale così definito, allora per trovare $(12 + 4i)Z nn Z$ bisogna vedere se esiste un numero complesso $a + bi in Z$ $:$ $(12 + 4i)(a + bi) = m in Z$ se tale numero $a + bi$ esiste allora esiste pure l'intersezione tra i due insiemi $mZ nn Z$.
Spero sia questa, altrimenti mi arrendo.
Ti scrivo una dimostrazione rigorosa, sperando che ti sia utile.
Sia [tex]I:=(12+4i)\mathbb{Z}[/tex], ideale di [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Dobbiamo dimostrare che [tex]I \cap \mathbb{Z}=40 \mathbb{Z}[/tex]. Dimostriamo le due inclusioni.
(1) [tex]40 \mathbb{Z} \subseteq I \cap \mathbb{Z}[/tex].
Siccome [tex]40 \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}[/tex], siamo ridotti a mostrare che [tex]40 \mathbb{Z} \subseteq I[/tex]. Poiché [tex]I[/tex] è un ideale, se contiene un elemento contiene anche tutti i suoi multipli interi, quindi basta mostrare che [tex]40 \in I[/tex]. Ora l'elemento [tex](12+4i)(3-i)[/tex] appartiene ad I essendo il prodotto di [tex]12+4i[/tex] con un elemento di [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Segue che [tex]I \ni (12+4i)(3-i) = 4(3+i)(3-i) = 4 \cdot 10 = 40[/tex], come volevamo.
(2) [tex]I \cap \mathbb{Z} \subseteq 40 \mathbb{Z}[/tex].
Prendiamo [tex]z=4(3+i)x \in I \cap \mathbb{Z}[/tex], con [tex]x \in \mathbb{Z}[/tex] e calcoliamone la norma: [tex]N(4(3+i)x) = N(4) N(3+i) N(x) = 16 \cdot 10 \cdot N(x)[/tex]. D'altra parte [tex]N(4(3+i)x)=N(z)=z^2[/tex], quindi [tex]z^2=16 \cdot 2 \cdot 5 \cdot N(x)[/tex]. Segue che nella decomposizione in fattori primi dell'intero [tex]N(x)[/tex] devono comparire almeno un 2 e un 5 (perché ogni fattore primo in [tex]z^2[/tex] occorre ovviamente un numero pari di volte), in altre parole [tex]N(x)[/tex] è divisibile per [tex]10[/tex], e [tex]N(x)=10 a^2[/tex] con [tex]a \in \mathbb{Z}[/tex]. Segue quindi che [tex]z^2=16 \cdot 100 \cdot a^2 = (40a)^2[/tex], da cui [tex]z= \pm 40a[/tex] e quindi [tex]z \in 40 \mathbb{Z}[/tex].
Sia [tex]I:=(12+4i)\mathbb{Z}[/tex], ideale di [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Dobbiamo dimostrare che [tex]I \cap \mathbb{Z}=40 \mathbb{Z}[/tex]. Dimostriamo le due inclusioni.
(1) [tex]40 \mathbb{Z} \subseteq I \cap \mathbb{Z}[/tex].
Siccome [tex]40 \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}[/tex], siamo ridotti a mostrare che [tex]40 \mathbb{Z} \subseteq I[/tex]. Poiché [tex]I[/tex] è un ideale, se contiene un elemento contiene anche tutti i suoi multipli interi, quindi basta mostrare che [tex]40 \in I[/tex]. Ora l'elemento [tex](12+4i)(3-i)[/tex] appartiene ad I essendo il prodotto di [tex]12+4i[/tex] con un elemento di [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Segue che [tex]I \ni (12+4i)(3-i) = 4(3+i)(3-i) = 4 \cdot 10 = 40[/tex], come volevamo.
(2) [tex]I \cap \mathbb{Z} \subseteq 40 \mathbb{Z}[/tex].
Prendiamo [tex]z=4(3+i)x \in I \cap \mathbb{Z}[/tex], con [tex]x \in \mathbb{Z}[/tex] e calcoliamone la norma: [tex]N(4(3+i)x) = N(4) N(3+i) N(x) = 16 \cdot 10 \cdot N(x)[/tex]. D'altra parte [tex]N(4(3+i)x)=N(z)=z^2[/tex], quindi [tex]z^2=16 \cdot 2 \cdot 5 \cdot N(x)[/tex]. Segue che nella decomposizione in fattori primi dell'intero [tex]N(x)[/tex] devono comparire almeno un 2 e un 5 (perché ogni fattore primo in [tex]z^2[/tex] occorre ovviamente un numero pari di volte), in altre parole [tex]N(x)[/tex] è divisibile per [tex]10[/tex], e [tex]N(x)=10 a^2[/tex] con [tex]a \in \mathbb{Z}[/tex]. Segue quindi che [tex]z^2=16 \cdot 100 \cdot a^2 = (40a)^2[/tex], da cui [tex]z= \pm 40a[/tex] e quindi [tex]z \in 40 \mathbb{Z}[/tex].
Intanto grazie per la risposta.
Rileggendo le due dimostrazioni, mi sembra che la prima, si avvicini al mio ultimo tentativo di dimostrazione. O che comunque abbia molti punti di contatto.
In ogni caso grazie.
Rileggendo le due dimostrazioni, mi sembra che la prima, si avvicini al mio ultimo tentativo di dimostrazione. O che comunque abbia molti punti di contatto.
In ogni caso grazie.
"emanuele78":Certo. Ora che gioco a carte scoperte ti dico che le idee le hai e giuste, ma dovresti imparare a formalizzare le dimostrazioni che hai in mente. Non solo perché la dimostrazione è alla base della matematica, anche per tuoi eventuali esami: fidati di me, se scrivi a un esame quello che hai scritto qui non prendi punti.
Rileggendo le due dimostrazioni, mi sembra che la prima, si avvicini al mio ultimo tentativo di dimostrazione. O che comunque abbia molti punti di contatto.
"Martino":Certo. Ora che gioco a carte scoperte ti dico che le idee le hai e giuste, ma dovresti imparare a formalizzare le dimostrazioni che hai in mente. Non solo perché la dimostrazione è alla base della matematica, anche per tuoi eventuali esami: fidati di me, se scrivi a un esame quello che hai scritto qui non prendi punti.[/quote]
[quote="emanuele78"]Rileggendo le due dimostrazioni, mi sembra che la prima, si avvicini al mio ultimo tentativo di dimostrazione. O che comunque abbia molti punti di contatto.
Mi fido. Spero di imparare.
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