Esercizio su gruppo di permutazioni(dec. cicli,sottogruppi)
Ciao a tutti vi propongo un'altro quesito riguardo un esercizio di matematica discreta,
Il testo del compito è il seguente:
Nel gruppo $\mathbb S_{9]$ delle permutazioni su {1,2,3,4,5,6,7,8,9} si consideri la permutazione $\mathbb alpha$=(213)(219)(218)(251)(67)
(a) Si decomponga $\mathbb alpha$ nel prodotto di cicli a due a due disgiunti.
(b) Determinare il sottogruppo $\mathbb$ generato da $\mathbb alpha$, elencandone gli elementi.
Le mie soluzioni sono:
(a) la permutazione da cui calcolare i cicli disgiunti è la seguente:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 5 2 4 8 7 6 3 1
i cicli disgiunti che ho calcolato sono i seguenti (1,9)(2,5,8,3)(6,7)
il mcm è 4 quindi avro 4 sottogruppi.
$\mathbb alpha$ = Id,
$\mathbb alpha1$ = (1,9)(2,5,8,3)(6,7)
$\mathbb alpha2$ = (2,8)(5,3)
$\mathbb alpha3$ = (1,9)(2,3,8,5)(6,7)
$\mathbb$ = {Id, (1,9)(2,5,8,3)(6,7), (2,8)(5,3), (1,9)(2,3,8,5)(6,7) }
I miei dubbi sono fondamentalmente rivolti alla parte di ricostruzione della permutazione dai cicli dati potreste dirmi se ho svolto correttamente l'esercizio?
Ma soprattutto avrei bisogno di una mano a capire meglio la teoria che permette di ricomporre la permutazione da cicli non disgiunti.
Il testo del compito è il seguente:
Nel gruppo $\mathbb S_{9]$ delle permutazioni su {1,2,3,4,5,6,7,8,9} si consideri la permutazione $\mathbb alpha$=(213)(219)(218)(251)(67)
(a) Si decomponga $\mathbb alpha$ nel prodotto di cicli a due a due disgiunti.
(b) Determinare il sottogruppo $\mathbb
Le mie soluzioni sono:
(a) la permutazione da cui calcolare i cicli disgiunti è la seguente:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 5 2 4 8 7 6 3 1
i cicli disgiunti che ho calcolato sono i seguenti (1,9)(2,5,8,3)(6,7)
il mcm è 4 quindi avro 4 sottogruppi.
$\mathbb alpha$ = Id,
$\mathbb alpha1$ = (1,9)(2,5,8,3)(6,7)
$\mathbb alpha2$ = (2,8)(5,3)
$\mathbb alpha3$ = (1,9)(2,3,8,5)(6,7)
$\mathbb
I miei dubbi sono fondamentalmente rivolti alla parte di ricostruzione della permutazione dai cicli dati potreste dirmi se ho svolto correttamente l'esercizio?
Ma soprattutto avrei bisogno di una mano a capire meglio la teoria che permette di ricomporre la permutazione da cicli non disgiunti.
Risposte
l'esercizio mi pare giusto...
per moltiplicare cicli non disgiungi basta partire da destra verso sinistra e vedere dove viene "inviato" un dato elemento e controllare nei restanti cicli che esso viene lasciato fisso oppure nuovamente permutato!
ma la ricomposizione mi pare giusta quindi ....
per moltiplicare cicli non disgiungi basta partire da destra verso sinistra e vedere dove viene "inviato" un dato elemento e controllare nei restanti cicli che esso viene lasciato fisso oppure nuovamente permutato!
ma la ricomposizione mi pare giusta quindi ....
"EyesOfDarkness":
Ciao a tutti vi propongo un'altro quesito riguardo un esercizio di matematica discreta,
Il testo del compito è il seguente:
Nel gruppo $\mathbb S_{9]$ delle permutazioni su {1,2,3,4,5,6,7,8,9} si consideri la permutazione $\mathbb alpha$=(213)(219)(218)(251)(67)
(a) Si decomponga $\mathbb alpha$ nel prodotto di cicli a due a due disgiunti.
(b) Determinare il sottogruppo $\mathbb$ generato da $\mathbb alpha$, elencandone gli elementi.
Le mie soluzioni sono:
(a) la permutazione da cui calcolare i cicli disgiunti è la seguente:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 5 2 4 8 7 6 3 1
i cicli disgiunti che ho calcolato sono i seguenti (1,9)(2,5,8,3)(6,7)
Dato che hai una scomposizione in cicli non ritengo conveniente ritornare a quella più scomoda a tabella...
Noto che il ciclo $(6\ 7)$ è già disgiunto dagli altri e quindi rimarrà tale.
Parti dall'$1$.
$1\mapsto 2\mapsto 1\mapsto 9$
$9\mapsto 2\mapsto 1$
Quindi il primo ciclo è $(1\ 9)$
$2\mapsto 5$
$5\mapsto 1\mapsto 8$
$8\mapsto 2\mapsto 1\mapsto 3$
$3\mapsto 2$
Quindi il secondo ciclo è $(2\ 5\ 8\ 3)$
Il 4 rimane fisso.
Quindi ricavi la scomposizione in cicli disgiunti $(1\ 9)(2\ 5\ 8\ 3)(6\ 7)$
Questo è solo per mostrarti che non hai bisogno di passare dalla forma in tabella...
"EyesOfDarkness":
il mcm è 4 quindi avro 4 sottogruppi.
$\mathbb alpha$ = Id,
$\mathbb alpha1$ = (1,9)(2,5,8,3)(6,7)
$\mathbb alpha2$ = (2,8)(5,3)
$\mathbb alpha3$ = (1,9)(2,3,8,5)(6,7)
$\mathbb$ = {Id, (1,9)(2,5,8,3)(6,7), (2,8)(5,3), (1,9)(2,3,8,5)(6,7) }
Attenzione non sono sottogruppi ma potenze di $\alpha$. Il resto mi sembra corretto.
"EyesOfDarkness":
I miei dubbi sono fondamentalmente rivolti alla parte di ricostruzione della permutazione dai cicli dati potreste dirmi se ho svolto correttamente l'esercizio?
Ma soprattutto avrei bisogno di una mano a capire meglio la teoria che permette di ricomporre la permutazione da cicli non disgiunti.
Un ciclo è una permutazione ciclica. Una scomposizione in cicli disgiunti è lo scrivere una permutazione come il prodotto di permutazioni cicliche. Il principio è come quello di scrivere una frazione come prodotto di frazioni di potenze di numeri primi $(p^m)/(q^n)$ dove $p$ e $q$ sono primi diversi. Il portare da una scomposizione in cicli non disgiunti in una a cicli disgiunti può essere vista come la semplificazione di quelle frazioni tra di loro. La scomposizione in cicli disgiunti è però un po' più "unica" dell'altra.
Credo di aver capito, grazie mille per la disponibilità.
Mi avete reso la vita molto più facile con i vostri interventi perchè a volte è difficile capire bene i dettagli e nei libri non sempre si riesce a scendere nel dettaglio o almeno nel mio caso è così.
Mi avete reso la vita molto più facile con i vostri interventi perchè a volte è difficile capire bene i dettagli e nei libri non sempre si riesce a scendere nel dettaglio o almeno nel mio caso è così.
Ciao a tutti. Qualcuno potrebbe spiegarmi come si decompone α nel prodotto di cicli a due a due disgiunti?
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