Esercizio su funzione in Zn
Ciao 
Ho il seguente esercizio di tutorato che mi manda un po' in crisi:
Il problema è che già mi areno sulla buona definizione (così come sull'iniettività)
La buona def. richiederebbe di dimostrare che
$[k]=[h] -> [7]^k=[7]^k$, ossia che $k≡h mod4 -> 7^k≡7^k mod 12$ quindi $4|(k-h) -> 12|(7^k-7^h)$ e so che $4|12$, ma nonostante queste informazioni non capisco come fare a mostrarlo, inoltre a complicare le cose cerco negli invertibili di $ZZ_12$.
Per l'iniettività in fondo cerco la freccia opposta "<--" quindi devo mostrare $[k]=[h] <=> [7]^k=[7]^k$
Mi sono proprio incastrata. Cosa debbo fare?
grazie.
Ho il seguente esercizio di tutorato che mi manda un po' in crisi:
Si consideri la funzione $f:Z_4→Z_(12)^xx$ definita ponendo $f([k])=[7]^k$
Per ognuna delle seguenti affermazioni scegliere se vera o falsa:
#È ben definita.
#È iniettiva.
#È suriettiva.
#Im(f) ha cardinalità 2.
Il problema è che già mi areno sulla buona definizione (così come sull'iniettività)
La buona def. richiederebbe di dimostrare che
$[k]=[h] -> [7]^k=[7]^k$, ossia che $k≡h mod4 -> 7^k≡7^k mod 12$ quindi $4|(k-h) -> 12|(7^k-7^h)$ e so che $4|12$, ma nonostante queste informazioni non capisco come fare a mostrarlo, inoltre a complicare le cose cerco negli invertibili di $ZZ_12$.
Per l'iniettività in fondo cerco la freccia opposta "<--" quindi devo mostrare $[k]=[h] <=> [7]^k=[7]^k$
Mi sono proprio incastrata. Cosa debbo fare?
grazie.
Risposte
$[k]=[h]$ significa per definizione che $k=h+4m$ per qualche $m\in \mathbb Z$. Quindi dovresti mostrare che $7^h\equiv 7^{h+4m}\mod 12$. Sai proseguire da qui, usando le proprietà delle potenze?
In effetti avevo provato anche quella "via" ma mi ero altresì arenata su: $12n=7^h(7^(4m)-1)$ e anche qui non mi venivano grandi idee furbe su come procedere pensandola inutile 
. Poi mi mette anche ansia l'essere in $Z_(12)^xx$ quindi dovrei prendere solo le classi $[7]^k$ che siano invertibili, richiesta che non sto sfruttando nel discorso fatto.
Devo bloccarmi su una cavolata che proprio non mi viene in mente sul come legare le cose...
. Poi mi mette anche ansia l'essere in $Z_(12)^xx$ quindi dovrei prendere solo le classi $[7]^k$ che siano invertibili, richiesta che non sto sfruttando nel discorso fatto.Devo bloccarmi su una cavolata che proprio non mi viene in mente sul come legare le cose...
beh direi che 7 è invertibile modulo 12 no?
Comunque, $7^{h+4m}=7^h\cdot 7^{4m}$. Sai calcolare $7^{4m}$ modulo 12?
Comunque, $7^{h+4m}=7^h\cdot 7^{4m}$. Sai calcolare $7^{4m}$ modulo 12?
Sei stato troppo rapido, mi sono accorta che in effetti MCD(7,12)=1 sse invertibile. Mi era sfuggita la teoria di mente ma hai editato prima di me.
Sì certo sulle potenze ci ero arrivata
credo il dubbio a questo punto fosse su quel calcolo che non mi veniva immediato e quindi l'avevo snobbato. Uhm
Comunque, 7h+4m=7h⋅74m. Sai calcolare 74m modulo 12
Sì certo sulle potenze ci ero arrivata
credo il dubbio a questo punto fosse su quel calcolo che non mi veniva immediato e quindi l'avevo snobbato. Uhm
Forse potrei usare il fatto che MCD(7,12)=1 e usando la phi di eulero:
$7^(φ(4))≡_(12)1$ quindi $(7^(φ(4)))^m≡_(12)1$ e ci siamo
********************
Resta ora da capire l'iniettività perché mi pare valga solo => e non <= come speravo inizialmente.
Devo quindi mostrare $[7]^k=[7]^h => [h]=[k]$
[EDIT]
nel frattempo ho provato a svolgere le restanti
- per quanto riguarda l'immagine ho verificato manualmente e trovo solo [2] e [7] riducendo i risultati modulo 12 quindi torna che abbia cardinalità 2.
- non è quindi iniettiva perché date due classi diverse in Z4 (es $[1]$ e $[3]$ trovo $f([3])=f([1])=[7]_(12)$)
- per la suriettività direi che essendo l'immagine [2] e [7] noto che prendendo la classe [5] che è invertibile in $ZZ_12$ non trovo mai un k=1,2,3,4 che mi restituisca tramite la funzione tale immagine, ergo non è suriettiva.
(non so se ci sia un modo più furbo di procedere, nel caso ascolto volentieri e imparo ^^)
Re-Re-grazie
$7^(φ(4))≡_(12)1$ quindi $(7^(φ(4)))^m≡_(12)1$ e ci siamo
********************
Resta ora da capire l'iniettività perché mi pare valga solo => e non <= come speravo inizialmente.
Devo quindi mostrare $[7]^k=[7]^h => [h]=[k]$
[EDIT]
nel frattempo ho provato a svolgere le restanti
- per quanto riguarda l'immagine ho verificato manualmente e trovo solo [2] e [7] riducendo i risultati modulo 12 quindi torna che abbia cardinalità 2.
- non è quindi iniettiva perché date due classi diverse in Z4 (es $[1]$ e $[3]$ trovo $f([3])=f([1])=[7]_(12)$)
- per la suriettività direi che essendo l'immagine [2] e [7] noto che prendendo la classe [5] che è invertibile in $ZZ_12$ non trovo mai un k=1,2,3,4 che mi restituisca tramite la funzione tale immagine, ergo non è suriettiva.
(non so se ci sia un modo più furbo di procedere, nel caso ascolto volentieri e imparo ^^)
Re-Re-grazie
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