Esercizio su fasci coerenti di moduli dal libro di Q. Liu
Ciao, sto cercando di risolvere questo eserczio dal libro di Qing Liu "Algebraic Geometry and Arithmetic Curves". E' il 1.12 del capitolo 5. Ecco il testo:
Sia $X$ uno schema localmente noetheriano.
[list=1]
[*:388h02np] Sia $\mathcal F$ un fascio coerente su $X$. Mostrare che se $\mathcal F_x$ è libero di rango $n$ su $\mathcal O_{X,x}$ allora esiste un intorno $U$ di $x$ tale che $\mathcal F|_U$ è libero di rango $n$. Dedurre che $\mathcal F$ è localmente libero di rango $n$ se e solo se avviene quanto appena detto per tutti gli stalk.[/*:m:388h02np]
[*:388h02np] Sia $\mathcal F$ localmente libero di rango $n$. Mostrare che $\mathcal F^{\vee}:= Hom_{\mathcal O_X}(\mathcal F, \mathcal O_X)$ è localmente libero di rango $n$.[/*:m:388h02np]
[*:388h02np] Mostrare che per $n=1$ il morfismo canonico $\mathcal F^{\vee} \otimes_{\mathcal O_X} \mathcal F -> \mathcal O_X$ è un isomorfismo.[/*:m:388h02np][/list:o:388h02np]
C'è un ulteriore punto sul gruppo di Picard, ma ve lo propongo eventualmente dopo. Per ora sarebbe fantastico se poteste darmi una mano su questi qui
Sia $X$ uno schema localmente noetheriano.
[list=1]
[*:388h02np] Sia $\mathcal F$ un fascio coerente su $X$. Mostrare che se $\mathcal F_x$ è libero di rango $n$ su $\mathcal O_{X,x}$ allora esiste un intorno $U$ di $x$ tale che $\mathcal F|_U$ è libero di rango $n$. Dedurre che $\mathcal F$ è localmente libero di rango $n$ se e solo se avviene quanto appena detto per tutti gli stalk.[/*:m:388h02np]
[*:388h02np] Sia $\mathcal F$ localmente libero di rango $n$. Mostrare che $\mathcal F^{\vee}:= Hom_{\mathcal O_X}(\mathcal F, \mathcal O_X)$ è localmente libero di rango $n$.[/*:m:388h02np]
[*:388h02np] Mostrare che per $n=1$ il morfismo canonico $\mathcal F^{\vee} \otimes_{\mathcal O_X} \mathcal F -> \mathcal O_X$ è un isomorfismo.[/*:m:388h02np][/list:o:388h02np]
C'è un ulteriore punto sul gruppo di Picard, ma ve lo propongo eventualmente dopo. Per ora sarebbe fantastico se poteste darmi una mano su questi qui
Risposte
La definizione di fascio localmente libero e di spiga di un fascio (in particolare la costruzione di un limite diretto) dovrebbe fare il primo punto se fissi il foglio con sufficiente sicumera. Per il 2. sai che per ogni punto $x$ esiste un aperto $U=U_x$ dove $\mathcal F|_U\cong \mathcal O_U^n$, e a questo punto la forma dell'$\hom$ interno a $Sh(X)$ (in particolare come sono fatte le restrizioni) dovrebbe dirti che $\mathcal F^\vee$ e' localmente libero.
(non dovrebbe essere geometria questa?) 
Ho fatto il secondo e il terzo punto. Il secondo deriva dal fatto che poiche' $\mathcal F$ e' loc. libero di rango $n$ allora,
localmente, $Hom(\mathcal F, \mathcal O_X)$ e' semplicemente $\Hom(\mathcal O_X^n,\mathcal O_X)$ e che un morfismo
di moduli $\mathcal O_X^n -> \mathcal O_X$ e' univocamente determinato dall'immagine di una base, quindi c'e' una corrispondenza 1-1 tra $n$-uple di $\mathcal O_X$ e morfismi del duale.
Il tuo suggerimento sul primo punto purtroppo non mi aiuta, la mia sicumera non impressiona il foglio... o forse lo impressiona troppo, impallidisce, ma era bianco di partenza, quindi non cambia.
(la geometria algebrica di solito, almeno all'universita', rientra nell'algebra. Per Geometria di solito si intendono topologia, geometria differenziale ecc. ma il forum potrebbe avere convenzioni diverse, in tal caso gli amministratori provvederanno a spostare il topic nella sua giusta posizione)
Grazie mille
localmente, $Hom(\mathcal F, \mathcal O_X)$ e' semplicemente $\Hom(\mathcal O_X^n,\mathcal O_X)$ e che un morfismo
di moduli $\mathcal O_X^n -> \mathcal O_X$ e' univocamente determinato dall'immagine di una base, quindi c'e' una corrispondenza 1-1 tra $n$-uple di $\mathcal O_X$ e morfismi del duale.
Il tuo suggerimento sul primo punto purtroppo non mi aiuta, la mia sicumera non impressiona il foglio... o forse lo impressiona troppo, impallidisce, ma era bianco di partenza, quindi non cambia.
(la geometria algebrica di solito, almeno all'universita', rientra nell'algebra. Per Geometria di solito si intendono topologia, geometria differenziale ecc. ma il forum potrebbe avere convenzioni diverse, in tal caso gli amministratori provvederanno a spostare il topic nella sua giusta posizione)
Grazie mille
[ot]
"mickey88":Mi permetto di dissentire, non sono un profondo conoscitore della geometria algebrica come kb; riconosco che a un certo punto la geometria (algebrica) è algebra ([non] commutativa), ma dire che essa è ivi inglobata no![/ot]
...la geometria algebrica di solito, almeno all'universita', rientra nell'algebra...
"killing_buddha":Io lo lascerei qui.
(non dovrebbe essere geometria questa?)
Per fare il punto uno, ricordati cos'è la spiga di un fascio 
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