Esercizio su estremo superiore ed inferiore per relazione di inclusione

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Sia M un insieme e sia P(M) ordinato con l'usuale relazione di inclusione. Dimostrare che un qualsiasi sottoinsieme F di P(M) è dotato di estremo superiore ed inferiore.

Sicuramente si può dire che preso qualsiasi F si può dire che esso è limitato sia superiormente (dall'insieme P(M)) che inferiormente (dall'insieme vuoto). Da qui a dire che ogni sottoinsieme F generico ha estremo inferiore e superiore non saprei come arrivarci.
Forse preso qualsiasi sottoinsieme F con n elementi si può dire che lo stesso ha come estremo inferiore l'insieme composto da tutti gli elementi di F tranne uno, ma tale estremo non è unico... Analogo ragionamento per gli estremi superiori.
Avete idee di come fare una dimostrazione rigorosa?

[megas_archon]

Sicuramente si può dire che preso qualsiasi F si può dire che esso è limitato sia superiormente (dall'insieme P(M)) che inferiormente (dall'insieme vuoto).

Questo è corretto. Per iniziare prova a dimostrare che, infatti, si ha \(\sup \varnothing = \emptyset\) e \(\inf\varnothing = M\), cioè che l'estremo inferiore del sottoinsieme vuoto \(\varnothing\subseteq PM\) è realizzato dall'elemento \(\emptyset\in PM\), e che l'estremo superiore del sottoinsieme vuoto \(\varnothing\subseteq PM\) è realizzato dall'elemento \(M\in PM\).

Poi, si tratta di usare la proprietà universale[nota]Per "proprietà universale" intendo quanto discusso qui https://www.matematicamente.it/forum/vi ... &p=8531314[/nota] di un estremo superiore/inferiore, per mostrare che dato \({\cal F}\subseteq PM\) si ha
\[\sup {\cal F} = \bigcup_{U\in \cal F} U\qquad \inf {\cal F} = \bigcap_{U\in \cal F} U.\]