Esercizio su congruenze a coefficienti non noti
Salve a tutti,
volevo porvi un quesito che mi sta dando diversi grattacapi:
Quali sono TUTTE le soluzioni in $ Z35 $ dell'equazione $ a^2 = [29]_35 $
Questo vuol dire che bisogna trova quel numero che, elevato al quadrato, dia come resto 29 modulo 35. Quindi l'ho scritta così:
$ a^2 -= 29 (mod 35) $
da qui non so più come continuare.
Grazie in anticipo.
volevo porvi un quesito che mi sta dando diversi grattacapi:
Quali sono TUTTE le soluzioni in $ Z35 $ dell'equazione $ a^2 = [29]_35 $
Questo vuol dire che bisogna trova quel numero che, elevato al quadrato, dia come resto 29 modulo 35. Quindi l'ho scritta così:
$ a^2 -= 29 (mod 35) $
da qui non so più come continuare.
Grazie in anticipo.
Risposte
$29+35=64$
$64=8^2$
$64=8^2$
Grazie per la risposta superpippone.
Mi hai fatto notare che ho dimenticato di scrivere quali sono TUTTE le soluzioni.
Anch'io avevo trovato 8 e avevo trovato anche 13.
Ovviamnente ci deve essere un metodo per trovarle tutte.
Mi hai fatto notare che ho dimenticato di scrivere quali sono TUTTE le soluzioni.
Anch'io avevo trovato 8 e avevo trovato anche 13.
Ovviamnente ci deve essere un metodo per trovarle tutte.
Eh già....
Ci sono anche 22 e 27....
Ci sono anche 22 e 27....
Ne sto trovando una caterva!!!
8-13-22-27-43-48-57-62-78-83-92-97-113-118-.....
Penso siano infiniti.
Però ho notato che lo scarto tra di loro è ciclico, cioè: 5-9-5-16 poi ricomincia 5-9-5-16.
Non so se può esserti d'aiuto.
8-13-22-27-43-48-57-62-78-83-92-97-113-118-.....
Penso siano infiniti.
Però ho notato che lo scarto tra di loro è ciclico, cioè: 5-9-5-16 poi ricomincia 5-9-5-16.
Non so se può esserti d'aiuto.
Lo strano è che $5+9+5+16$ fa proprio $35$
A questo punto mi viene da pensare che non sia una coincidenza casuale!!!!
A questo punto mi viene da pensare che non sia una coincidenza casuale!!!!
Credo che $8$ $13$ $22$ e $27$ siano la soluzione perchè modulo $ 35 $ sono solo questi.
Non so come li hai trovati, ma io non ho fatto altro che verificare uno per uno se fosse congruo 29 modulo 35.
Ora questa tecnica va bene in questo caso, cioè che il modulo è relativamente piccolo...ma se si tratta numeri enormi??
Volevo sapere se esiste una tecnica per risolvere esercizi del genere proprio per il motivo sopra citato.
Non so come li hai trovati, ma io non ho fatto altro che verificare uno per uno se fosse congruo 29 modulo 35.
Ora questa tecnica va bene in questo caso, cioè che il modulo è relativamente piccolo...ma se si tratta numeri enormi??
Volevo sapere se esiste una tecnica per risolvere esercizi del genere proprio per il motivo sopra citato.
Come li ho trovati?
Possiedo una calcolatrice da tavolo.
Ho fatto 29+35+35+35+35+35+35............
Poi avevo una tabella dei quadrati, e vedevo quando i due risultati coincidevano.
Non è molto scientifico, però.....
Possiedo una calcolatrice da tavolo.
Ho fatto 29+35+35+35+35+35+35............
Poi avevo una tabella dei quadrati, e vedevo quando i due risultati coincidevano.
Non è molto scientifico, però.....
Trovare le soluzioni in $ZZ$ $/$ $ZZ35$ significa trovare le classi $[x]_35$ che sono soluzione della congruenza data.
Detto questo, esse non possono essere più di 35 dato che $ZZ$ $/$ $ZZ35$ (gruppo additivo) ha esattamente 35 elementi.
$a^2 -=29 (35)$
$29^2 -= 1 (35)$
$=>$ $a^4-=1 (35)$
Gli elementi candidati, quindi, sono quelli che hanno ordine moltiplicativo $4$, bisogna controllare fra quelli.
Quelli da voi trovati rispettano questa proprietà.
$8^4 -= 13^4 -= 22^4 -= 27^4 -= 1$ $(35)$
Detto questo, esse non possono essere più di 35 dato che $ZZ$ $/$ $ZZ35$ (gruppo additivo) ha esattamente 35 elementi.
$a^2 -=29 (35)$
$29^2 -= 1 (35)$
$=>$ $a^4-=1 (35)$
Gli elementi candidati, quindi, sono quelli che hanno ordine moltiplicativo $4$, bisogna controllare fra quelli.
Quelli da voi trovati rispettano questa proprietà.
$8^4 -= 13^4 -= 22^4 -= 27^4 -= 1$ $(35)$
Grazie SaraSue 
ora ho capito
gentilissima
ora ho capito
gentilissima
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