Esercizio su campo finito

[GBX1]

Buongiorno, sto cercando di risolvere un problema su un'estensione finita di un campo finito, e mi trovo in difficoltà.
Il problema è questo: << Provare che l'estensione finita K di un campo finito F è semplice>>.
Allora, abbiamo un campo finito F, una sua estensione finita K, e bisogna dimostrare che K è semplice, ossia che esiste un elemento $ alpha in $ K tale che K = F( $ alpha $ ).
Se F fosse infinito basterebbe applicare il teorema dell'elemento primitivo. Qui però ciò non si può fare, perché F è finito. Però sappiamo che per i campi finiti vale la seguente proprietà: il gruppo moltiplicativo di un campo finito è ciclico. Quindi, chiamando $ Phi $ il gruppo moltiplicativo del campo F, sappiamo che esiste un elemento $ lambda in Phi $ tale che $ Phi =< lambda > $ .
A questo punto, però, non riesco più a procedere oltre. Qualcuno riesce a darmi un suggerimento?
Grazie

[Studente Anonimo]

Hai provato a dimostrare che $K=F(lambda)$? Devi dimostrare le due inclusioni.

[GBX1]

Dimostrare che K = F( $ lambda $ ) non credo che serva, perché, essendo $ lambda in F $ , K non sarebbe più un'estensione di F. Bisogna dimostrare (con la simbologia da me adottata) che K = F ($ alpha $ ), con $ alpha $ non appartenente ad F.

[Studente Anonimo]

Sì, intendevo dire che prendi come $lambda$ un generatore del gruppo moltiplicativo di $K$ (non di $F$). Questo $lambda$ esiste perché $K$ è finito, come si vede facilmente.

[GBX1]