Esercizio su anello degli interi di Gauss
ciao a tutti..non riesco a risolvere un esercizio, posto qui il testo
"Si considerino gli ideali \( I=(26) \) e \( J=(12+5i) \) nell' anello \( A=Z\).
Descrivere il reticolo degli ideali di \(A/I \) specificando quali fra essi sono primi, e calcola gli elementi nilpotenti.
Stabilire se l' anello \(A/(I+J)\) è un dominio finito."
Se al posto di \(Z\) ci fosse stato \(Z \) non avrei avuto problemi in quanto avrei dovuto prendere i divisori di \(26\) e sfruttare il teorema di corrispondenza tra \(Z\) e \(Z/(26)\). E gli ideali primi sono i divisori primi..
Quindi ho provato a risolvere per analogia ..dapprima scrivendo \( 26=(1+i)*(1-i)*(3+2i)*(3-2i)\).
Ciascuno di questi 4 fattori è da considerarsi divisore ma se dovessi rappresentarli ?
Per specificare quali sono primi fra essi, mi servo del teorema di classificazione dei primi di Gauss, e quindi sono tutti primi ..
Come si calcolano gli elementi nilpotenti?..la definizione di elemento nilpotente non mi aiuta.
E per la seconda richiesta dalla teoria so che \( (I+J)=MCD(26,12+5i) \)..ma operativamente come si fa?
mi sento molto insicura in tutti i passaggi in questi esercizi, spero ci sia qualcuno che riesca ad illuminarmi!
"Si considerino gli ideali \( I=(26) \) e \( J=(12+5i) \) nell' anello \( A=Z\).
Descrivere il reticolo degli ideali di \(A/I \) specificando quali fra essi sono primi, e calcola gli elementi nilpotenti.
Stabilire se l' anello \(A/(I+J)\) è un dominio finito."
Se al posto di \(Z\) ci fosse stato \(Z \) non avrei avuto problemi in quanto avrei dovuto prendere i divisori di \(26\) e sfruttare il teorema di corrispondenza tra \(Z\) e \(Z/(26)\). E gli ideali primi sono i divisori primi..
Quindi ho provato a risolvere per analogia ..dapprima scrivendo \( 26=(1+i)*(1-i)*(3+2i)*(3-2i)\).
Ciascuno di questi 4 fattori è da considerarsi divisore ma se dovessi rappresentarli ?
Per specificare quali sono primi fra essi, mi servo del teorema di classificazione dei primi di Gauss, e quindi sono tutti primi ..
Come si calcolano gli elementi nilpotenti?..la definizione di elemento nilpotente non mi aiuta.
E per la seconda richiesta dalla teoria so che \( (I+J)=MCD(26,12+5i) \)..ma operativamente come si fa?
mi sento molto insicura in tutti i passaggi in questi esercizi, spero ci sia qualcuno che riesca ad illuminarmi!
Risposte
Per gli elementi nilpotenti devi rifarti alla definizione.
Considera però che se $a$ è nilpotente $a^n + I=I$ per qualche $n in NN$, quindi $a^n in I$ ovvero $26|a^n$. Quindi devono comparire tutti i termini della fattorizzazione, in questo caso $a=(1+i)(1-i)(3+2i)(3-2i)$.
Quanto all'altro quesito considera una fattorizzazione di $(12+5i)$. O hai problemi a fare quest'ultima?
In tal caso considera che la norma di $12+5i$ è $169=13^2$. Ed essendo la norma moltiplicativa sai che dobbiamo cercare due fattori di norma $13=2^2+3^2$. Inoltre, escludendo il fatto che tali fattori siano complessi coniugati, con qualche calcolo si ha che $(12+5i)=(2+3i)(3-2i)$
Considera però che se $a$ è nilpotente $a^n + I=I$ per qualche $n in NN$, quindi $a^n in I$ ovvero $26|a^n$. Quindi devono comparire tutti i termini della fattorizzazione, in questo caso $a=(1+i)(1-i)(3+2i)(3-2i)$.
Quanto all'altro quesito considera una fattorizzazione di $(12+5i)$. O hai problemi a fare quest'ultima?
In tal caso considera che la norma di $12+5i$ è $169=13^2$. Ed essendo la norma moltiplicativa sai che dobbiamo cercare due fattori di norma $13=2^2+3^2$. Inoltre, escludendo il fatto che tali fattori siano complessi coniugati, con qualche calcolo si ha che $(12+5i)=(2+3i)(3-2i)$
per quanto riguarda gli elementi nilpotenti ci siamo! 
il problema sta nel fattorizzare un numero complesso..calcolando la norma, si potrebbero trovare due numeri tali che la somma dei loro quadrati mi dia proprio la norma.
Mi turba quel "con qualche calcolo", perché da sola non sarei riuscita a fattorizzare \(12+5i \) ..in ogni modo \( MCD(26,12+5i) \) dovrebbe essere \(3-2i\)..sempre se in \( Z \) si calcola come per i numeri interi
il problema sta nel fattorizzare un numero complesso..calcolando la norma, si potrebbero trovare due numeri tali che la somma dei loro quadrati mi dia proprio la norma.
Mi turba quel "con qualche calcolo", perché da sola non sarei riuscita a fattorizzare \(12+5i \) ..in ogni modo \( MCD(26,12+5i) \) dovrebbe essere \(3-2i\)..sempre se in \( Z \) si calcola come per i numeri interi
Sì, è quello.
Ma no, non deve turbarti, sai che le possibilità son limitate, inoltre non sono complessi coniugati quindi al più avresti dovuto fare i prodotti $(2+-3i)(2+-3i)$, $(3+-2i)(3+-2i)$. Poi più esercizi farai più ti farai l'occhio, te l'assicuro
Ma no, non deve turbarti, sai che le possibilità son limitate, inoltre non sono complessi coniugati quindi al più avresti dovuto fare i prodotti $(2+-3i)(2+-3i)$, $(3+-2i)(3+-2i)$. Poi più esercizi farai più ti farai l'occhio, te l'assicuro
Perfetto, mi metto all' opera..
mi confermi un attimo che quindi \( A/(I+J) \) risulta un anello finito poiché i laterali son del tipo \( a+ib + (3-2i) \) con \(N(a+ib)=a^2+b^2 < 13= N(3-2i) \) e perciò i punti contenuti nella circonferenza di equazione \(x^2+y^2=13\) sono in numero finito?
(il problema serio è che non ho dimestichezza con i numeri complessi e mi spaventano, mah)
grazie di tutto!
mi confermi un attimo che quindi \( A/(I+J) \) risulta un anello finito poiché i laterali son del tipo \( a+ib + (3-2i) \) con \(N(a+ib)=a^2+b^2 < 13= N(3-2i) \) e perciò i punti contenuti nella circonferenza di equazione \(x^2+y^2=13\) sono in numero finito?
(il problema serio è che non ho dimestichezza con i numeri complessi e mi spaventano, mah)
grazie di tutto!
Non maneggio i primi di gauss da un sacco, quindi sono un po' arrugginito.
Non so se è finito quell'anello. Se $I+J$ fosse intero lo sarebbe sicuramente, ma così non so.
Potresti verificare se esiste un morfismo di anelli surgettivo in qualche anello finito noto, con quel nucleo. Però così, a naso, direi che è giusto quello che dici.
EDIT: la dimostrazione formale di questo fatto, potrebbe essere in quella dell'esistenza di quoziente e resto in $ZZ$
Non so se è finito quell'anello. Se $I+J$ fosse intero lo sarebbe sicuramente, ma così non so.
Potresti verificare se esiste un morfismo di anelli surgettivo in qualche anello finito noto, con quel nucleo. Però così, a naso, direi che è giusto quello che dici.
EDIT: la dimostrazione formale di questo fatto, potrebbe essere in quella dell'esistenza di quoziente e resto in $ZZ$
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