Esercizio su Anelli
un esercizio che non riesco a risolvere:
[tex]$A$[/tex] anello in cui ogni ideale [tex]$I \neq A$[/tex] è primo,
allora [tex]$A$[/tex] è un campo.
iniziamo con il considerare l'ideale [tex]$\left( 0 \right)$[/tex]: siccome questo è primo, possiamo concludere che [tex]$A$[/tex] è un dominio.
ora osserviamo che [tex]$R$[/tex] è un campo [tex]$\Leftrightarrow$[/tex] gli unici ideali di [tex]$R$[/tex] sono banali, ovvero [tex]$R,\left( 0 \right)$[/tex]
adesso potrei mostrare che per ogni [tex]$a \in A \setminus \left\{ 0 \right\}$[/tex] si ha [tex]$\left( a \right) = A$[/tex] ma non riesco.
Idee?
[tex]$A$[/tex] anello in cui ogni ideale [tex]$I \neq A$[/tex] è primo,
allora [tex]$A$[/tex] è un campo.
iniziamo con il considerare l'ideale [tex]$\left( 0 \right)$[/tex]: siccome questo è primo, possiamo concludere che [tex]$A$[/tex] è un dominio.
ora osserviamo che [tex]$R$[/tex] è un campo [tex]$\Leftrightarrow$[/tex] gli unici ideali di [tex]$R$[/tex] sono banali, ovvero [tex]$R,\left( 0 \right)$[/tex]
adesso potrei mostrare che per ogni [tex]$a \in A \setminus \left\{ 0 \right\}$[/tex] si ha [tex]$\left( a \right) = A$[/tex] ma non riesco.
Idee?
Risposte
Non ho capito perchè vuoi mostrare che se indico con $(a)=I => I=A$
In questo modo si dimostrerebbe che tutti gli ideali principali generati da un elemento $a \ne 0$ fanno tutto l'anello, e quindi in particolare ogni ideale $I \ne 0$ è t.c. $I=A$ (dal momento che contiene gli ideali principali dei suoi elementi non nulli).
Al momento non mi viene in mente una soluzione che possa prendere questa strada.
Prova però a considerare (dopo aver giustamente osservato che in questo caso il tuo anello è un dominio) che per ipotesi sono primi tutti gli ideali della forma $(a^2)$ con $a$ non nullo. Direttamente dalla definizione si arriva a dire che $a$ è invertibile.
Al momento non mi viene in mente una soluzione che possa prendere questa strada.
Prova però a considerare (dopo aver giustamente osservato che in questo caso il tuo anello è un dominio) che per ipotesi sono primi tutti gli ideali della forma $(a^2)$ con $a$ non nullo. Direttamente dalla definizione si arriva a dire che $a$ è invertibile.
grazie mille Pappappero, e benvenuto nel forum.
In effetti è probabile che mi fossi infognato in una strada difficile e tortuosa, mentre con la tua idea si arriva alla conclusione in fretta.
completo l'esercizio per chiarezza:
Osservato che [tex]$\left( 0 \right)$[/tex] è un ideale primo, e quindi che [tex]$A$[/tex] è un dominio, adesso consideriamo
[tex]$a \neq 0$[/tex], e studiamo l'ideale [tex]$I= \left( a^2 \right)$[/tex].
ora supponiamo [tex]$a \notin I$[/tex] ma allora [tex]$I \neq A$[/tex] e quindi per ipotesi sappiamo che [tex]$I$[/tex] è primo e quindi siccome [tex]$a^2=a \cdot a \in I$[/tex] abbiamo che [tex]$a \in I \lor a \in I$[/tex] ovvero [tex]$a \in I$[/tex] assurdo.
perciò [tex]$a \in I$[/tex] da cui segue [tex]$a=a^2 \cdot b$[/tex], quindi [tex]$a \left( 1-ab \right) =0$[/tex] e siccome [tex]$a \neq 0$[/tex] e [tex]$A$[/tex] dominio, ricaviamo [tex]$ab=1$[/tex] ovvero [tex]$a$[/tex] invertibile.
et voilà.
@Lorin penso ti abbia risposto bene Pappappero, la mia idea era quella.
In effetti è probabile che mi fossi infognato in una strada difficile e tortuosa, mentre con la tua idea si arriva alla conclusione in fretta.
completo l'esercizio per chiarezza:
Osservato che [tex]$\left( 0 \right)$[/tex] è un ideale primo, e quindi che [tex]$A$[/tex] è un dominio, adesso consideriamo
[tex]$a \neq 0$[/tex], e studiamo l'ideale [tex]$I= \left( a^2 \right)$[/tex].
ora supponiamo [tex]$a \notin I$[/tex] ma allora [tex]$I \neq A$[/tex] e quindi per ipotesi sappiamo che [tex]$I$[/tex] è primo e quindi siccome [tex]$a^2=a \cdot a \in I$[/tex] abbiamo che [tex]$a \in I \lor a \in I$[/tex] ovvero [tex]$a \in I$[/tex] assurdo.
perciò [tex]$a \in I$[/tex] da cui segue [tex]$a=a^2 \cdot b$[/tex], quindi [tex]$a \left( 1-ab \right) =0$[/tex] e siccome [tex]$a \neq 0$[/tex] e [tex]$A$[/tex] dominio, ricaviamo [tex]$ab=1$[/tex] ovvero [tex]$a$[/tex] invertibile.
et voilà.
@Lorin penso ti abbia risposto bene Pappappero, la mia idea era quella.
Capito...non avevo afferrato bene il senso. ^^
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