Esercizio struttura algebrica, come determinare elementi invertibili?
Salve a tutti, questo è il mio primo post, ho letto il regolamento e spero di non aver sbagliato nulla ma mi scuso in anticipo in caso di errori.
Vi scrivo perché cerco aiuto con questo esercizio riguardante le strutture algebriche:
Si consideri l'insieme A = $QQxxQQ$ e sia *: A$xx$A$->$A l'operazione definita da:
(a, b)*(c, d)=(3ac, b+d+1) $AA$(a, b), (c, d) $in$ A.
1) Stabilire se l'operazione è commutativa ed associativa.
2) Determinare, se esiste, l'elemento neutro.
3) Determinare gli elementi invertibili di A e calcolare l'inverso di (1, 1).
Sono riuscito a verificare che l'operazione è sia commutativa che associativa; ho determinato che l'elemento neutro esiste ed è uguale a ($1/3$, -1) e determinato l'inverso di (1, 1) che risulta essere ($1/9$, -3). Non so invece come fare a determinare quali siano gli elementi invertibili, qualcuno può aiutarmi ed eventualmente segnalarmi se ci sono errori nei risultati da me ottenuti?
Grazie per la vostra disponibilità
Vi scrivo perché cerco aiuto con questo esercizio riguardante le strutture algebriche:
Si consideri l'insieme A = $QQxxQQ$ e sia *: A$xx$A$->$A l'operazione definita da:
(a, b)*(c, d)=(3ac, b+d+1) $AA$(a, b), (c, d) $in$ A.
1) Stabilire se l'operazione è commutativa ed associativa.
2) Determinare, se esiste, l'elemento neutro.
3) Determinare gli elementi invertibili di A e calcolare l'inverso di (1, 1).
Sono riuscito a verificare che l'operazione è sia commutativa che associativa; ho determinato che l'elemento neutro esiste ed è uguale a ($1/3$, -1) e determinato l'inverso di (1, 1) che risulta essere ($1/9$, -3). Non so invece come fare a determinare quali siano gli elementi invertibili, qualcuno può aiutarmi ed eventualmente segnalarmi se ci sono errori nei risultati da me ottenuti?
Grazie per la vostra disponibilità
Risposte
Forse ho trovato la soluzione, c'è qualcuno che riesce a dirmi se è corretta?
Grazie all'aiuto di un'amica sono arrivato alla conclusione che, sia $(a,b) in A$ e sia $(a', b')$ il suo inverso, un elemento invertibile deve essere del tipo $a'=1/(9a)$ e $b'=-b-2$, a questo punto dato che necessariamente $a!=0$ posso dedurre che gli elementi invertibili sono tutti gli elementi di $A$ esclusi quelli del tipo $(0, b)$? Se sì, c'è un modo migliore per formalizzare questa soluzione o va bene così com'è?
Grazie all'aiuto di un'amica sono arrivato alla conclusione che, sia $(a,b) in A$ e sia $(a', b')$ il suo inverso, un elemento invertibile deve essere del tipo $a'=1/(9a)$ e $b'=-b-2$, a questo punto dato che necessariamente $a!=0$ posso dedurre che gli elementi invertibili sono tutti gli elementi di $A$ esclusi quelli del tipo $(0, b)$? Se sì, c'è un modo migliore per formalizzare questa soluzione o va bene così com'è?
Io sono arrivato alle tue stesse conclusioni. Per me è corretto. L'unica imprecisione, forse, è questa di linguaggio:
Non va confusa la forma degli elementi invertibili (che correttamente hai individuato nella coppie con prima componente non nulla) con l'inverso, che per tali elementi ha l'espressione nella citazione sopra.
Ciao
"alemartina23":
un elemento invertibile deve essere del tipo $a'=1/(9a)$ e $b'=−b−2$
Non va confusa la forma degli elementi invertibili (che correttamente hai individuato nella coppie con prima componente non nulla) con l'inverso, che per tali elementi ha l'espressione nella citazione sopra.
Ciao
In effetti penso tu abbia pienamente ragione, ti ringrazio per avermelo fatto notare e ti ringrazio per avermi confermato i risultati 
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