Esercizio sistema di congruenze
Dato che sono stato aiutato da voi ho deciso di svolgere un esercizio di congruenze che mi è capitato in un compito (correggetemi se faccio eventuali errori)
Risolvere il seguente sistema di congruenze
${5x-=7(mod 3)
${25x-=4(mod 4)
${x-=1(mod 5)
semplificando e riducendo si ottiene il sistema equivalente
${x-=2(mod 3)
${x-=0(mod 4)
${x-=1(mod 5)
prendiamo l'ultima equazione
$x=1+5k$ e sostituiamo la x alla seconda equazione per trovare k
$x-=0 (mod 4)$ diventa
$1+5k-=0 (mod 4)$
$5k-=-1(mod 4)$
$k-=3 (mod 4)$
$k=3+4h$
adesso sostituiamo la k ad $x=1+5k$ e si ottiene
$x = 1+5(3+4h)
$x = 1+15+20h
$x = 16+20h$
sostituiamo la x alla prima equazione per trovare h
$x-=2(mod 3)$ diventa
$16+20h-=2(mod 3)$
$20h-=-14 (mod 3)$
$h-=2 (mod 3)$
$h=2+3t$
adesso sostituiamo la h ad $x=16+20k$ e si ottiene
$x=16+20(2+3t)
$x=16+40+60t
$x=56+60t
quindi in definitiva la soluzione del sistema di congruenze è
$x-=56 (mod 60)
e questo è tutto
Risolvere il seguente sistema di congruenze
${5x-=7(mod 3)
${25x-=4(mod 4)
${x-=1(mod 5)
semplificando e riducendo si ottiene il sistema equivalente
${x-=2(mod 3)
${x-=0(mod 4)
${x-=1(mod 5)
prendiamo l'ultima equazione
$x=1+5k$ e sostituiamo la x alla seconda equazione per trovare k
$x-=0 (mod 4)$ diventa
$1+5k-=0 (mod 4)$
$5k-=-1(mod 4)$
$k-=3 (mod 4)$
$k=3+4h$
adesso sostituiamo la k ad $x=1+5k$ e si ottiene
$x = 1+5(3+4h)
$x = 1+15+20h
$x = 16+20h$
sostituiamo la x alla prima equazione per trovare h
$x-=2(mod 3)$ diventa
$16+20h-=2(mod 3)$
$20h-=-14 (mod 3)$
$h-=2 (mod 3)$
$h=2+3t$
adesso sostituiamo la h ad $x=16+20k$ e si ottiene
$x=16+20(2+3t)
$x=16+40+60t
$x=56+60t
quindi in definitiva la soluzione del sistema di congruenze è
$x-=56 (mod 60)
e questo è tutto
Risposte
$2x-=1(mod3)->2x-1+3-=0(mod3)->2(x+1)-=0(mod3)->x-=2(mod3)$
dunque
${[x-=2(mod3)],[x-=0(mod4)],[x-=1(mod5)] :}$
cerca di usare "-=" al posto delle tre linee all'interno delle formule.
è abbastanza faticoso riuscire a leggere. mi è parso che tu non abbia scelto la via più semplice...
rivedi il tutto, confronta i risultati anche con un altro metodo, ed eventualmente posta una nuova soluzione con i simboli giusti.
ciao.
dunque
${[x-=2(mod3)],[x-=0(mod4)],[x-=1(mod5)] :}$
cerca di usare "-=" al posto delle tre linee all'interno delle formule.
è abbastanza faticoso riuscire a leggere. mi è parso che tu non abbia scelto la via più semplice...
rivedi il tutto, confronta i risultati anche con un altro metodo, ed eventualmente posta una nuova soluzione con i simboli giusti.
ciao.
ho utilizzato il metodo di sostituzione........perchè secondo me ritengo che sia di facile intuito comunque ora sistemo i simboli non ho semplificato la prima equazione perchè non ho bisogno di applicare il teorema cinese del resto comunque anche se semplifico il risultato non cambia
ho visto, mi pare vada bene, però se prima semplifichi un po' di più è meglio. come ti ho scritto io ad esempio hai anche una visione più immediata del risultato.
che non hai scelto il metodo più semplice era per dire che sei partito dalla terza, mentre mi pare che la seconda sia più facile.
ai miei tempi si faceva così, tant'è vero che i nuovi metodi sembrano anche a me troppo meccanici e cervellotici, però ... non so che cosa voglia il vostro prof.!
ciao.
che non hai scelto il metodo più semplice era per dire che sei partito dalla terza, mentre mi pare che la seconda sia più facile.
ai miei tempi si faceva così, tant'è vero che i nuovi metodi sembrano anche a me troppo meccanici e cervellotici, però ... non so che cosa voglia il vostro prof.!
ciao.
d'accordo lo semplifico alla fine se rivedi i conti quando sostituisco alla prima la h devo solo moltiplicare per due però comunque come dici è meglio semplificare subito.....
ecco fatto ho sistemato il tutto grazie e ciao
prego. ciao.
Scusate ma io proprio non riesco a capire come si semplifica all'inizio!!!
Come fa a far "sparire" i coefficienti della x?
Ci provo e ci roprovo ma proprio non ci arrivo!!!
Qualcuno che può spiegarmelo a livello dei bimbi delle elementari?
Come fa a far "sparire" i coefficienti della x?
Ci provo e ci roprovo ma proprio non ci arrivo!!!
Qualcuno che può spiegarmelo a livello dei bimbi delle elementari?
Devi fare qualche MCD e qualche conticino, infatti:
$5x=7(3)$
dapprima passi ai rappresentanti di $5$ e $7$ in $ZZ_3$ visto che sono equivalenti:
$2x=1(3)$
Poi trovi l'inverso di $2$ che è $2$ stesso infatti $2*2=4=3*1+1$ e quindi:
$x=2(3)$
Analogo procedimento per gli altri.
$5x=7(3)$
dapprima passi ai rappresentanti di $5$ e $7$ in $ZZ_3$ visto che sono equivalenti:
$2x=1(3)$
Poi trovi l'inverso di $2$ che è $2$ stesso infatti $2*2=4=3*1+1$ e quindi:
$x=2(3)$
Analogo procedimento per gli altri.
Ho capito la parte iniziale...ma per trovare l'inverso di 2 devo usare il teorema di bezout?
Io l'ho trovato ad occhio, ma effettivamente dovresti usare Bezout sapendo che $MCD(3,2)=1$
io non ho fatto con l'inverso, non lo so fare.
avevo $2x-=1(mod3)$
cioè $2x-1-=0(mod3)$ nel senso che, dal significato di congruenza, 2x-1 è multiplo di tre. se aggiungo 3 anche 2x-1+3 è multiplo di 3.
dunque $2x+2-=0(mod3)$, ma 2x+2=2(x+1), se è multiplo di 3 non lo è certo grazie al fattore 2, visto che MCD(2,3)=1, allora vuol dire che è multiplo di 3 il fattore (x+1). pertanto
$x+1-=0(mod3)$ e infine, sempre per definizione di congruenza, $x-=-1(mod3)$, ma se vogliamo usare un numero compreso tra 0 e 2, basta aggiungere
3 (-1+3=2)
la congruenza è ridotta a $x-=2(mod3)$
spero che così sia chiaro.
la risposta sull'eventuale ricerca dell'inverso interessa anche a me.
ciao.
avevo $2x-=1(mod3)$
cioè $2x-1-=0(mod3)$ nel senso che, dal significato di congruenza, 2x-1 è multiplo di tre. se aggiungo 3 anche 2x-1+3 è multiplo di 3.
dunque $2x+2-=0(mod3)$, ma 2x+2=2(x+1), se è multiplo di 3 non lo è certo grazie al fattore 2, visto che MCD(2,3)=1, allora vuol dire che è multiplo di 3 il fattore (x+1). pertanto
$x+1-=0(mod3)$ e infine, sempre per definizione di congruenza, $x-=-1(mod3)$, ma se vogliamo usare un numero compreso tra 0 e 2, basta aggiungere
3 (-1+3=2)
la congruenza è ridotta a $x-=2(mod3)$
spero che così sia chiaro.
la risposta sull'eventuale ricerca dell'inverso interessa anche a me.
ciao.
Avete che per il teorema di Bezout se abbiamo $MCD(a,b)=d$ allora $EE r,s in ZZ: ar+bs=d$
Da questo, nel caso semplice di $3$ e $2$:
$MCD(3,2)=1$
usiamo l'algoritmo di Euclide:
$3=2*1+1$
$2=1*2$
Da cui partendo dal basso ottengo con qualche sostituzione:
$2*2-3*1=1$
Ma questo in termini di congruenza $mod(3)$ non è niente altro che:
$2*2\equiv 1(3)$
Ovvero l'inverso di $2$ in modulo $3$ è $2$ stesso.
Tutto chiaro? Se sì tentate facendo lo stesso e trovando l'inverso di $13$ modulo $31$
Da questo, nel caso semplice di $3$ e $2$:
$MCD(3,2)=1$
usiamo l'algoritmo di Euclide:
$3=2*1+1$
$2=1*2$
Da cui partendo dal basso ottengo con qualche sostituzione:
$2*2-3*1=1$
Ma questo in termini di congruenza $mod(3)$ non è niente altro che:
$2*2\equiv 1(3)$
Ovvero l'inverso di $2$ in modulo $3$ è $2$ stesso.
Tutto chiaro? Se sì tentate facendo lo stesso e trovando l'inverso di $13$ modulo $31$
mi sono "scervellata", alla fine credo di aver capito, ma mi pare un modo troppo meccanico che ti fa perdere il filo del discorso...
grazie mille comunque!
ciao. metto il "mio" risultato in spoiler:
grazie mille comunque!
ciao. metto il "mio" risultato in spoiler:
io invece contiunuo a non capirci un tubo...
prova a vedere qui:
http://www.dm.unipi.it/~abbondandolo/di ... congru.pdf
http://www.mat.uniroma1.it/people/campa ... aparte.pdf
se vuoi chiarimenti sui passaggi che ho riportato nel secondo post di questa pagina, chiedi pure.
se vuoi sapere come ho ottenuto il risultato in spoiler relativo all'esercizio più complesso proposto da LordK, dillo pure.
ciao.
http://www.dm.unipi.it/~abbondandolo/di ... congru.pdf
http://www.mat.uniroma1.it/people/campa ... aparte.pdf
se vuoi chiarimenti sui passaggi che ho riportato nel secondo post di questa pagina, chiedi pure.
se vuoi sapere come ho ottenuto il risultato in spoiler relativo all'esercizio più complesso proposto da LordK, dillo pure.
ciao.
provo a rispondere io a merlo che effettivamente è un po' complicato anche io avevo le stesse difficoltà:
allora supponiamo di avere la seguente congruenza:
$5x -= 3 (mod 9)
dobbiamo calcolarci l'inverso moltiplicativo di 5 modulo 9, cioè quel numero che moltiplicato per 5 da 1 modulo 9. il numero in questione è 2 perché se moltiplichiamo
5*2=10 risulta uguale a 1 mod 9
quindi si ha $2*5x=3*2 (mod 9)
$10x-=6 (mod 9)$
fino a qui tutto ok?
adesso scriviamo l'ultima equazione cosi: $9x+x-= 6 (mod 9)
ed essendo (mod 9) 9x lo possiamo semplificare quindi in definitiva abbiamo:
$x-= 6 (mod 9)
ritornando all'esecizio l'equazione era
$5x-=7 (mod 3)$ la scriviamo in questo modo
$2x+3x-= 3+3+1 (mod 3)$ semplifichiamo
$2x-=1 (mod 3)
calcoliamo l'inverso moltiplicativo cioè quel numero che moltiplicato per 2 da 1 modulo 3 in questo caso è 2 perchè
$2x*2-=1*2 (mod 3)$ quindi
$4x-=2 (mod 3)$ cioè
$3x+x -= 2 (mod 3)$ quindi in definitiva
$x-=2 (mod 3)
tutto chiaro? se hai difficoltà dimmi pure ciao......
allora supponiamo di avere la seguente congruenza:
$5x -= 3 (mod 9)
dobbiamo calcolarci l'inverso moltiplicativo di 5 modulo 9, cioè quel numero che moltiplicato per 5 da 1 modulo 9. il numero in questione è 2 perché se moltiplichiamo
5*2=10 risulta uguale a 1 mod 9
quindi si ha $2*5x=3*2 (mod 9)
$10x-=6 (mod 9)$
fino a qui tutto ok?
adesso scriviamo l'ultima equazione cosi: $9x+x-= 6 (mod 9)
ed essendo (mod 9) 9x lo possiamo semplificare quindi in definitiva abbiamo:
$x-= 6 (mod 9)
ritornando all'esecizio l'equazione era
$5x-=7 (mod 3)$ la scriviamo in questo modo
$2x+3x-= 3+3+1 (mod 3)$ semplifichiamo
$2x-=1 (mod 3)
calcoliamo l'inverso moltiplicativo cioè quel numero che moltiplicato per 2 da 1 modulo 3 in questo caso è 2 perchè
$2x*2-=1*2 (mod 3)$ quindi
$4x-=2 (mod 3)$ cioè
$3x+x -= 2 (mod 3)$ quindi in definitiva
$x-=2 (mod 3)
tutto chiaro? se hai difficoltà dimmi pure ciao......
moderatori vedete se quello che ho scritto sopra è giusto xke finora non ha risposto nessuno.........
@corel_86
Grazie!!!!!!!!!!!Finalmente è tutto chiaro!!!
Adesso provo a fare un pò di esercizi!!!
Grazie!!!!!!!!!!!Finalmente è tutto chiaro!!!
Adesso provo a fare un pò di esercizi!!!
Non sono un moderatore ma è corretto il tuo ragionamento!
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