Esercizio Sistema Congruenza Lineari

[LS005]

Salve,
Ho questo sistema di congruenze lineari e non so come semplificare la 3^
$ 3x -= 2^412 mod 5 $
$ 4x -= 8 mod 7 $
$ (5^14)x -= 2 mod 3 $
Intanto vediamo se ho fatto bene la semplificazione della prima.
Allora ho ragionato così:
Siccome 5 è primo e il MCD tra 2 e 5 è 1 ho usato il Piccolo Teorma di fermat concludendo che:
$ 2^4 -= 1 mod 5 $
quindi essendo 412 = 400 + 12
$ (2^4)^3 -= 1 mod 5 $
quindi ho aggiunto 400
$ (2^4)^3 * 2^400 -= 2^400 mod 5 $
400 è congruo 0 mod 5 quindi
$ 2^412 -= 0 mod 5 $
e quindi la prima per transitività l'ho semplificata così:
$ 3x -= 0 mod 5 $
Anche se osservando 412 sarei potuto arrivare più facilmente al risultato comunque per essere sicuro ho fatto così.
Ora la 3^ congrunza del sistema
$ (5^14)x -= 2 mod 3 $
non so proprio come semplificarla perchè in questo caso il numero da semplificare è coefficiente della x e il ragionamento di prima non credo si possa usare.
Qualcuno sa dirmi come fare?
Grazie

[perplesso1]

"LS005": $ 2^{412} ≡ 0\ mod5 $

Dubito fortemente che una potenza di 2 possa essere un multiplo di 5
Osserva che $ 2^{412}=16^{103} $ che è un umero che finisce per 6 e quindi è congruo a 1 mod5. Allora per la transitività $ 3x ≡ 1\ mod5 $

Per l'altro osserva che $ 25=5^2 ≡ 1\ mod3 $ e moltiplicando 7 volte membro a membro questa congruenza si ha $ 5^{14}≡1\ mod3 $ . Infine moltiplicando ambo i membri per x si ha $ 5^{14}x≡x \ mod3 $ e per la transitività $ x≡2\ mod3 $

Le soluzioni del sistema te le trovi te che io non mi ricordo come si fa =P