Esercizio Reticoli e relazioni d'ordine
Salve Ragazzi, ho dei problemi nel capire gli esercizi riguardanti le relazioni d'ordine e relative domande sui reticoli.
L'esercizio che stò per inserire è uno solo, non ne sono tanti, è tutto collegato.
Per ogni $ n in Z $ sia $ pi(n)={p in P .t.c. p | n} $ con $ P $ inteso come l'insieme contenente i numeri primi interi.
($ p | n -> n=pc $)
Sia $ sigma $ la relazione definita da:
$ (AA a,b in Z)(a sigma b <=> (a<=b ^^ pi(a)sube pi(b))) $
Le domande sono:
i) $ sigma $ è totale?
Ho risposto di no, dato che una relazione d'ordine è totale se e solo se ogni coppia di elementi è confrontabile, basta che almeno una coppia non lo sia, allora:
$ 2 sigma 3 $ non è vero, perchè $ 2<=3 $ ma $pi(2)={2}$ e $pi(3)={3}$
ii) Determinare in $(Z, sigma)$ gli eventuali elementi minimali, massimali, minimo, massimo.
Qui io non so proprio come procedere, cioè non riesco a dimostrare quali sono tali elementi, e qui mi servirebbe un piccolo aiuto sul come procedere.
iii) $ (Z, sigma) $ è un reticolo?
L'unica cosa che mi viene da pensare è che $(Z, sigma)$ non è limitato superiormente, quindi non esiste estremo superiore.
Quindi non può essere un reticolo.
iv) Sia $ A={10,12} $ Descrivere in $(Z, sigma)$ l'insieme dei minoranti di A, e se esiste, $ i n f A $.
Anche qui non so esattamente come procedere, mi servirebbe un aiuto anche qui.
Sarebbe gradita una correzione se ho sbagliato a rispondere alle due domande, e un aiuto per aiutarmi nelle altre due.
Grazie a tutti.
L'esercizio che stò per inserire è uno solo, non ne sono tanti, è tutto collegato.
Per ogni $ n in Z $ sia $ pi(n)={p in P .t.c. p | n} $ con $ P $ inteso come l'insieme contenente i numeri primi interi.
($ p | n -> n=pc $)
Sia $ sigma $ la relazione definita da:
$ (AA a,b in Z)(a sigma b <=> (a<=b ^^ pi(a)sube pi(b))) $
Le domande sono:
i) $ sigma $ è totale?
Ho risposto di no, dato che una relazione d'ordine è totale se e solo se ogni coppia di elementi è confrontabile, basta che almeno una coppia non lo sia, allora:
$ 2 sigma 3 $ non è vero, perchè $ 2<=3 $ ma $pi(2)={2}$ e $pi(3)={3}$
ii) Determinare in $(Z, sigma)$ gli eventuali elementi minimali, massimali, minimo, massimo.
Qui io non so proprio come procedere, cioè non riesco a dimostrare quali sono tali elementi, e qui mi servirebbe un piccolo aiuto sul come procedere.
iii) $ (Z, sigma) $ è un reticolo?
L'unica cosa che mi viene da pensare è che $(Z, sigma)$ non è limitato superiormente, quindi non esiste estremo superiore.
Quindi non può essere un reticolo.
iv) Sia $ A={10,12} $ Descrivere in $(Z, sigma)$ l'insieme dei minoranti di A, e se esiste, $ i n f A $.
Anche qui non so esattamente come procedere, mi servirebbe un aiuto anche qui.
Sarebbe gradita una correzione se ho sbagliato a rispondere alle due domande, e un aiuto per aiutarmi nelle altre due.
Grazie a tutti.
Risposte
Ciao!
Concordo sul primo punto.
Per il secondo:
Se non prendo abbagli (cosa più che probabile) di ogni numero ne puoi costruirne sia uno più grande che uno più piccolo:
sia $n>0$. Allora si vede che $n^2 \geq n$ e $-n \leq n$. Mentre se $n<0$ allora $-(n^2) \leq n$ e $-n \geq n$ e con un briciolo più di pazienza si rendono strette tutte le disuguaglianze, quindi direi che non hai minimali e massimali..
Per il resto... mi dai la definizione di reticolo?
Concordo sul primo punto.
Per il secondo:
Se non prendo abbagli (cosa più che probabile) di ogni numero ne puoi costruirne sia uno più grande che uno più piccolo:
sia $n>0$. Allora si vede che $n^2 \geq n$ e $-n \leq n$. Mentre se $n<0$ allora $-(n^2) \leq n$ e $-n \geq n$ e con un briciolo più di pazienza si rendono strette tutte le disuguaglianze, quindi direi che non hai minimali e massimali..
Per il resto... mi dai la definizione di reticolo?
Un reticolo è un insieme su cui è definita una relazione di ordinamento parziale. Inoltre, ogni sottoinsieme formato da almeno due coppie deve avere estremo superiore ed estremo inferiore.
Purtroppo non ho ben capito il tuo svolgimento..
Ci sono diversi esercizi come quello dei minimali e massimali, tutti definiti con relazioni d'ordine diversi.
Questo è uno dei tanti, speravo di capire come risolverlo per poi applicare lo stesso "procedimento" ad esercizi simili.
Però non ho proprio capito come il tuo svolgimento possa dimostrare quali sono i minimali, massimali, massimo e minimo.
Grazie mille per la risposta.
Purtroppo non ho ben capito il tuo svolgimento..
Ci sono diversi esercizi come quello dei minimali e massimali, tutti definiti con relazioni d'ordine diversi.
Questo è uno dei tanti, speravo di capire come risolverlo per poi applicare lo stesso "procedimento" ad esercizi simili.
Però non ho proprio capito come il tuo svolgimento possa dimostrare quali sono i minimali, massimali, massimo e minimo.
Grazie mille per la risposta.
Ciao xMauri94 
Provo a darti le miei impressioni riguardo alla risoluzione dei due punti su cui mi sento più sicuro.
D'accordo con te, questo controesempio (e se ne possono fornire molti) è sufficiente per affermare che la relazione $\sigma$ non è totale.
No, secondo me stai confondendo la definizione di reticolo con quella di reticolo finito. Per verificare che $(Z, sigma)$ sia reticolo è sufficiente verificare che la relazione d'ordine $\sigma$ sia di ordine parziale, ossia goda delle proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva. La riflessività direi che è banale, l'antisimmetria non è complessa da provare (con le relazioni di $\leq$ e $\subseteq$ si sta abbastanza presto) così come anche la transitività (non l'ho fatto in maniera dettagliata su carta ma a livello intuitivo ragionandoci un attimo non mi sembra complesso). Caso mai prova e poi mi fai sapere se non ti trovi.
Spero di averti dato una mano (seppur piccola intanto
).
Provo a darti le miei impressioni riguardo alla risoluzione dei due punti su cui mi sento più sicuro.
"xMauri94":
[...]
i) $ sigma $ è totale?
Ho risposto di no, dato che una relazione d'ordine è totale se e solo se ogni coppia di elementi è confrontabile, basta che almeno una coppia non lo sia, allora:
$ 2 sigma 3 $ non è vero, perchè $ 2<=3 $ ma $pi(2)={2}$ e $pi(3)={3}$
[...]
D'accordo con te, questo controesempio (e se ne possono fornire molti) è sufficiente per affermare che la relazione $\sigma$ non è totale.
"xMauri94":
[...]
iii) $ (Z, sigma) $ è un reticolo?
L'unica cosa che mi viene da pensare è che $(Z, sigma)$ non è limitato superiormente, quindi non esiste estremo superiore.
Quindi non può essere un reticolo.
[...]
No, secondo me stai confondendo la definizione di reticolo con quella di reticolo finito. Per verificare che $(Z, sigma)$ sia reticolo è sufficiente verificare che la relazione d'ordine $\sigma$ sia di ordine parziale, ossia goda delle proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva. La riflessività direi che è banale, l'antisimmetria non è complessa da provare (con le relazioni di $\leq$ e $\subseteq$ si sta abbastanza presto) così come anche la transitività (non l'ho fatto in maniera dettagliata su carta ma a livello intuitivo ragionandoci un attimo non mi sembra complesso). Caso mai prova e poi mi fai sapere se non ti trovi.
Spero di averti dato una mano (seppur piccola intanto
).
Ciao
L'esercizio chiede di trovare gli eventuali elementi minimali, massimali, massimi e minimi. Questo vuol dire che non necessariamente ce ne sono. Io sostengo, appunto, di aver dimostrato che non ci sono minimali nè massimali nel tuo insieme rispetto alla relazione d'ordine data.
C'è qualcosa in particolare che non ti è chiaro del mio argomento, o che ti sembra sbagliato (magari lo è!).
michele
L'esercizio chiede di trovare gli eventuali elementi minimali, massimali, massimi e minimi. Questo vuol dire che non necessariamente ce ne sono. Io sostengo, appunto, di aver dimostrato che non ci sono minimali nè massimali nel tuo insieme rispetto alla relazione d'ordine data.
C'è qualcosa in particolare che non ti è chiaro del mio argomento, o che ti sembra sbagliato (magari lo è!).
michele
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