Esercizio relazione d'ordine
In $ N $ (insieme dei numeri naturali) si consideri la relazione $ xrho y $ se $ x=y $ o se $ 2x $ divide $ y $.
a. Provare che si tratta di una relazione d'ordine. E' un ordine totale?
b. Provare che $ { 2^k | kin N } $ è un sottoinsieme totalmente ordinato rispetto a $ rho $.
c. Sia $ D $ il sottoinsieme di $ N $ dei numeri dispari. Provare che $ rho $ ristretta a $ D $ è una relazione d'equivalenza e caratterizzare le classi di equivalenza.
Quello che ho fatto:
a. è una relazione d'ordine perchè gode delle proprietà Riflessiva ($ a=a $), Antisimmetrica (se $ a $ divide $ b $ e $ b $ divide $ a $, allora $ a=b $ per forza di cose), Transitiva (se $ a $ divide $ b $ e $ b $ divide $ c $ allora $ a $ divide $ c $, ad esempio $ 2; 4; 8 $ ).
E' un ordine totale perchè ogni numero può essere multiplo di un altro e quindi non ci sono insiemi vuoti.
b. E' totalmente ordinato perchè essendo solo potenze di 2, ogni successivo numero è multiplo di tutti i precedenti.
c. Non ne ho idea... Mi è venuto fuori un pasticcio.
E' una relazione d'equivalenza se gode delle proprietà Riflessiva, Simmetrica e Transitiva.
Ok la proprietà riflessiva perchè ogni numero è uguale a se stesso; per la proprietà simmetrica invece ho fatto che:
devo trovare quel numero $ x $ tale che $ 2x $ divide $ y $, cioè $ y/(2x)=k $ cioè $ y=2kx $. Ma siamo nei numeri dispari, allora se $ x=5; y=10k $ che è pari.
Cosa non ho capito?
a. Provare che si tratta di una relazione d'ordine. E' un ordine totale?
b. Provare che $ { 2^k | kin N } $ è un sottoinsieme totalmente ordinato rispetto a $ rho $.
c. Sia $ D $ il sottoinsieme di $ N $ dei numeri dispari. Provare che $ rho $ ristretta a $ D $ è una relazione d'equivalenza e caratterizzare le classi di equivalenza.
Quello che ho fatto:
a. è una relazione d'ordine perchè gode delle proprietà Riflessiva ($ a=a $), Antisimmetrica (se $ a $ divide $ b $ e $ b $ divide $ a $, allora $ a=b $ per forza di cose), Transitiva (se $ a $ divide $ b $ e $ b $ divide $ c $ allora $ a $ divide $ c $, ad esempio $ 2; 4; 8 $ ).
E' un ordine totale perchè ogni numero può essere multiplo di un altro e quindi non ci sono insiemi vuoti.
b. E' totalmente ordinato perchè essendo solo potenze di 2, ogni successivo numero è multiplo di tutti i precedenti.
c. Non ne ho idea... Mi è venuto fuori un pasticcio.
E' una relazione d'equivalenza se gode delle proprietà Riflessiva, Simmetrica e Transitiva.
Ok la proprietà riflessiva perchè ogni numero è uguale a se stesso; per la proprietà simmetrica invece ho fatto che:
devo trovare quel numero $ x $ tale che $ 2x $ divide $ y $, cioè $ y/(2x)=k $ cioè $ y=2kx $. Ma siamo nei numeri dispari, allora se $ x=5; y=10k $ che è pari.
Cosa non ho capito?
Risposte
Per il punto c., la relazione è un po' "stupida" 
Quand'è che due numeri dispari sono in relazione? Secondo la definizione lo sono quando $x=y$ o quando $2x$ divide $y$. Ma l'ultima delle due è impossibile che accada, altrimenti uno dei due numeri sarebbe pari! Allora la relazione sui dispari è semplicemente:
$x rho y iff x=y$. A questo punto le verifiche sono facili, se non ovvie...
Quand'è che due numeri dispari sono in relazione? Secondo la definizione lo sono quando $x=y$ o quando $2x$ divide $y$. Ma l'ultima delle due è impossibile che accada, altrimenti uno dei due numeri sarebbe pari! Allora la relazione sui dispari è semplicemente:
$x rho y iff x=y$. A questo punto le verifiche sono facili, se non ovvie...
messa in questi termini... xD
grazie
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