Esercizio Quaternioni
L'esercizio è il seguente.
(Mi scuso se prima l'avevo allegato come immagine andando contro alla regola 3.7; sono un po' giù per il non riuscirci da solo)
Scrivere $ x = (1+3i-j+5k)/(2)$ come prodotto di un elemento del tipo $(+-1+-i+-j+-k)/(2)$ per un quaternione $a+bi+cj+dk$
Spero non sia già presente tra gli esercizi già affrontati; personalmente non l'ho trovato.
È poco tempo che ho a che fare coi quaternioni. Premetto di non essere un matematico.
Dico cosa ho provato.
Per $ q_1 $ mi riferirò al primo quaternione del prodotto (quello unitario con i $+-$),
mentre al secondo con $q_2 = a+bi+cj+dk$ con a, b, c, d appartenenti a $ZZ$
Il primo tentativo fallimentare l'ho effettuato con il prodotto di Hamilton tra $q_1^(-1) $ e $x$ , ma non sono riuscito a portarlo a termine ottenendo i valori interi che cerco. (Pur non essendo commutativo dovrebbe essere "corretto" nell'intenzione).
Il secondo tentativo fallimentare invece è stato di usare sempre il prodotto di Hamilton ma tra $q_1$ e $q_2$ e mettendo poi a sistema gli elementi del risultato del prodotto coi signoli elementi di $x$.
Il terzo tentativo è stato di portare tutto in forma esponenziale arrivando a ciò che occorreva attraverso queste formule.
Una volta fatto ciò sembrava semplificarsi avendo $e^(n_1 \theta_1) n_2 e^(n_2 \theta_2) = 3 e^(n_x \theta_x)$ con $n_2$ norma di $q_2$.
Cosa sbaglio? Potreste aiutarmi ad avvicinarmi alla soluzione?
Ringrazio anticipatamente chiunque per l'aiuto.
_________________________________________________________________
Aggiornamento:
Ho trovato gli Hurwitz quaternion che sono fattorizzabili.
Il punto adesso è che un quaternione di Hurwitz è detto irriducibile se la sua norma è un numero primo;
in questo caso $||x||=3$, ed è quindi irriducibile. Inoltre $(+-1+-i+-j+-k)/(2)$ sono tutte unità per questo anello.
Ora $q_2$ però appartiene ai quaternioni di Lipschitz e quindi dovrei ottenere $x$ dal prodotto $1/2 (+-1+-i+-j+-k) (a+bi+cj+dk)$
e quindi $1+3i-j+5k =(+-1+-i+-j+-k) (a+bi+cj+dk) $.
In questo caso $||1+3i-j+5k|| = 6$ che non è primo e i suoi fattori si possono scrivere come somma di quattro quadrati grazie al teorema dei quattro quadrati Lagrange, e quindi come quaternioni.
Spero di essermi avvicinato alla soluzione. Tornerò su questo problema domani pomeriggio.
Se qualcuno potesse darmi conferma del procedimento gli sarei molto grato.
(Mi scuso se prima l'avevo allegato come immagine andando contro alla regola 3.7; sono un po' giù per il non riuscirci da solo)
Scrivere $ x = (1+3i-j+5k)/(2)$ come prodotto di un elemento del tipo $(+-1+-i+-j+-k)/(2)$ per un quaternione $a+bi+cj+dk$
Spero non sia già presente tra gli esercizi già affrontati; personalmente non l'ho trovato.
È poco tempo che ho a che fare coi quaternioni. Premetto di non essere un matematico.
Dico cosa ho provato.
Per $ q_1 $ mi riferirò al primo quaternione del prodotto (quello unitario con i $+-$),
mentre al secondo con $q_2 = a+bi+cj+dk$ con a, b, c, d appartenenti a $ZZ$
Il primo tentativo fallimentare l'ho effettuato con il prodotto di Hamilton tra $q_1^(-1) $ e $x$ , ma non sono riuscito a portarlo a termine ottenendo i valori interi che cerco. (Pur non essendo commutativo dovrebbe essere "corretto" nell'intenzione).
Il secondo tentativo fallimentare invece è stato di usare sempre il prodotto di Hamilton ma tra $q_1$ e $q_2$ e mettendo poi a sistema gli elementi del risultato del prodotto coi signoli elementi di $x$.
Il terzo tentativo è stato di portare tutto in forma esponenziale arrivando a ciò che occorreva attraverso queste formule.
Una volta fatto ciò sembrava semplificarsi avendo $e^(n_1 \theta_1) n_2 e^(n_2 \theta_2) = 3 e^(n_x \theta_x)$ con $n_2$ norma di $q_2$.
Cosa sbaglio? Potreste aiutarmi ad avvicinarmi alla soluzione?
Ringrazio anticipatamente chiunque per l'aiuto.
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Aggiornamento:
Ho trovato gli Hurwitz quaternion che sono fattorizzabili.
Il punto adesso è che un quaternione di Hurwitz è detto irriducibile se la sua norma è un numero primo;
in questo caso $||x||=3$, ed è quindi irriducibile. Inoltre $(+-1+-i+-j+-k)/(2)$ sono tutte unità per questo anello.
Ora $q_2$ però appartiene ai quaternioni di Lipschitz e quindi dovrei ottenere $x$ dal prodotto $1/2 (+-1+-i+-j+-k) (a+bi+cj+dk)$
e quindi $1+3i-j+5k =(+-1+-i+-j+-k) (a+bi+cj+dk) $.
In questo caso $||1+3i-j+5k|| = 6$ che non è primo e i suoi fattori si possono scrivere come somma di quattro quadrati grazie al teorema dei quattro quadrati Lagrange, e quindi come quaternioni.
Spero di essermi avvicinato alla soluzione. Tornerò su questo problema domani pomeriggio.
Se qualcuno potesse darmi conferma del procedimento gli sarei molto grato.
Risposte
Sono arrivato al risultato ma con un metodo poco ortodosso.
Riassumendo, ero arrivato al punto di dover trovare $1+3i−j+5k=(±1±i±j±k)(a+bi+cj+dk)$ sapendo che $||1+3i−j+5k||=6$.
So che $6 = 3*2 = sqrt(2^2+2^2+1^2)*sqrt(1^2+1^2+1^2+1^2) = ||(a+bi+cj+dk)||*||(±1±i±j±k)|| $
Quindi uno tra a,b,c,d sarà uguale a zero e gli atri tre avranno assegnata una delle disposizioni dei valori $+-2,+-2,+-1$ .
Per quello unitario va bene invece una qualsiasi delle combinazioni dei $+-$ per poter ottenere la norma 2.
Ho scritto quindi un programma in java per provarle tutte,
e si ha che $1+3i−j+5k=(±1±i±j±k)(a+bi+cj+dk) = (1+i-j-k) * (2i+2j+k)$
Le mie domande ora sono:
1) c'è un metodo più appropriato per arrivare al risultato?
2) Non so perchè non ci sia stata alcuna risposta. Nel solo caso in cui però io sia andato inconsapevolmente contro qualche regola del forum (e quindi ad un'automatica "non risposta") o abbia postato in una sezione sbagliata, potreste dirmelo affinchè io non incorra un'altra volta nello stesso errore?
Riassumendo, ero arrivato al punto di dover trovare $1+3i−j+5k=(±1±i±j±k)(a+bi+cj+dk)$ sapendo che $||1+3i−j+5k||=6$.
So che $6 = 3*2 = sqrt(2^2+2^2+1^2)*sqrt(1^2+1^2+1^2+1^2) = ||(a+bi+cj+dk)||*||(±1±i±j±k)|| $
Quindi uno tra a,b,c,d sarà uguale a zero e gli atri tre avranno assegnata una delle disposizioni dei valori $+-2,+-2,+-1$ .
Per quello unitario va bene invece una qualsiasi delle combinazioni dei $+-$ per poter ottenere la norma 2.
Ho scritto quindi un programma in java per provarle tutte,
e si ha che $1+3i−j+5k=(±1±i±j±k)(a+bi+cj+dk) = (1+i-j-k) * (2i+2j+k)$
Le mie domande ora sono:
1) c'è un metodo più appropriato per arrivare al risultato?
2) Non so perchè non ci sia stata alcuna risposta. Nel solo caso in cui però io sia andato inconsapevolmente contro qualche regola del forum (e quindi ad un'automatica "non risposta") o abbia postato in una sezione sbagliata, potreste dirmelo affinchè io non incorra un'altra volta nello stesso errore?
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