Esercizio prodotto di cicli disgiunti
Ciao a tutti, lo so che ci saranno 1000 discussioni su questo argomento ma non ne ho trovata nemmeno una che spiegasse giusto come procedere a risolvere queste cose...
Vi posto il testo dell'esercizio: Si consideri il gruppo S6 delle permutazioni sugli elementi 1, 2, ... ,6.
a) Scrivere come prodotto di cicli disgiunti la permutazione:
a = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)(1 2 5 3 6)
e indicarne il periodo.
Vorrei che qualcuno mi spiegasse passo passo come risolvere questo tipo di esercizzi...premessa: non so niente...
Grazie a tutti
Vi posto il testo dell'esercizio: Si consideri il gruppo S6 delle permutazioni sugli elementi 1, 2, ... ,6.
a) Scrivere come prodotto di cicli disgiunti la permutazione:
a = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)(1 2 5 3 6)
e indicarne il periodo.
Vorrei che qualcuno mi spiegasse passo passo come risolvere questo tipo di esercizzi...premessa: non so niente...
Grazie a tutti
Risposte
Penso di avere risposto praticamente ieri sera ad una domanda equivalente... Quindi direi che hai cercato poco
Comunque parti da 1 e andando da destra a sinistra trovi (12 quindi mandi 1 in 2 dopo di che trovi (24 e quindi mandi il 2 in 4. Alla fine della permutazione hai quindi mandato 1 in 4. Cominci quindi a scrivere (14
Ora riparti con 4 e lo mandi in 6 e il 6 in 2 quindi (142
Quindi tocca al 2 che viene mandato in 5, il 5 in 4, il 4 in 3, il 3 in 5 e quindi (1425
Tocca quindi al 5 che va in 3, il 3 in 5, il 5 in 6 e quindi (14256
Tocca il 6 che va in 1, l'1 in 3 e quindi (142563
Tocca al 3 che va in 6, il 6 in 3, il 3 va in 6, il 6 va in 1 e quindi chiudi il ciclo che è (142563)
Siccome è un ciclo di ordine 6 si è finito altrimenti avresti dovuto partire da primo elemento che non era nel ciclo e andare avanti così. Il periodo è 6 ma è un po' banale, se fossero stati due cicli disgiunti avresti dovuto fare il minimo comun multiplo tra gli ordini dei vari cicli.
Comunque parti da 1 e andando da destra a sinistra trovi (12 quindi mandi 1 in 2 dopo di che trovi (24 e quindi mandi il 2 in 4. Alla fine della permutazione hai quindi mandato 1 in 4. Cominci quindi a scrivere (14
Ora riparti con 4 e lo mandi in 6 e il 6 in 2 quindi (142
Quindi tocca al 2 che viene mandato in 5, il 5 in 4, il 4 in 3, il 3 in 5 e quindi (1425
Tocca quindi al 5 che va in 3, il 3 in 5, il 5 in 6 e quindi (14256
Tocca il 6 che va in 1, l'1 in 3 e quindi (142563
Tocca al 3 che va in 6, il 6 in 3, il 3 va in 6, il 6 va in 1 e quindi chiudi il ciclo che è (142563)
Siccome è un ciclo di ordine 6 si è finito altrimenti avresti dovuto partire da primo elemento che non era nel ciclo e andare avanti così. Il periodo è 6 ma è un po' banale, se fossero stati due cicli disgiunti avresti dovuto fare il minimo comun multiplo tra gli ordini dei vari cicli.
Partendo da 1 vado da destra a sinistra e trovo 12...cosa significa che devo mandare l'1 in 2? e poi come faccio a decidere che dopo 12 devo fermarmi a 24?
"n1md4":
Partendo da 1 vado da destra a sinistra e trovo 12...cosa significa che devo mandare l'1 in 2? e poi come faccio a decidere che dopo 12 devo fermarmi a 24?
Non ho messo gli spazi. Comunque si, significa quello. Quello comunque è il significato stesso del ciclo.
La decisione è semplice: è il primo due che incontri dopo quello che hai appena passato.
"vict85":
[quote="n1md4"]Partendo da 1 vado da destra a sinistra e trovo 12...cosa significa che devo mandare l'1 in 2? e poi come faccio a decidere che dopo 12 devo fermarmi a 24?
Non ho messo gli spazi. Comunque si, significa quello. Quello comunque è il significato stesso del ciclo.
La decisione è semplice: è il primo due che incontri dopo quello che hai appena passato.[/quote]
dopo aver messo il 2 in 4, perchè mi fermo e chiudo la parentesi e non continuo con il 4? è perchè arrivo in fondo e non c'è un altro 4?
poi come faccio a sapere quando ho finito?
Tu non chiudi la parentesi. Vediamo se così è più chiaro. Considera le permutazioni come funzioni e i cicli con il senso della funzione che manda un elemento in quello che è subito a destra del ciclo lasciando il resto fisso. Ometto il [tex]\circ[/tex] per brevità.
[tex]\alpha(1) = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)(1 2 5 3 6) 1 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6) 2 = (1 3 5 6)(2 4 3 6) 2 = (1 3 5 6) 4 = 4[/tex]
[tex]\alpha^2(1) = \alpha\alpha(1) = \alpha(4) = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)(1 2 5 3 6)4 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)4 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)6 = (1 3 5 6)2 = 2[/tex]
[tex]\alpha^3(1) = \alpha\alpha^2(1) = \alpha(2) = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)(1 2 5 3 6)2 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)5 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)4 = (1 3 5 6)3 = 5[/tex]
[tex]\alpha^4(1) = \alpha\alpha^3(1) = \alpha(5) = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)(1 2 5 3 6)5 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)3 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)5 = (1 3 5 6)5 = 6[/tex]
[tex]\alpha^5(1) = \alpha\alpha^4(1) = \alpha(6) = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)(1 2 5 3 6)6 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)1 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)1 = (1 3 5 6)1 = 3[/tex]
[tex]\alpha^6(1) = \alpha\alpha^6(1) = \alpha(3) = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)(1 2 5 3 6)3 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)6 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)3 = (1 3 5 6)6 = 1[/tex]
Siccome [tex]\alpha^6 = 1[/tex] tu hai trovato la sua "orbita" tramite la permutazione [tex]\alpha[/tex] e quindi il ciclo a cui [tex]1[/tex] appartiene. Ogni elemento appartiene ad uno e un solo ciclo e quindi hai trovato il ciclo a cui appartengono anche [tex]2,3,4,5[/tex] e [tex]6[/tex]. Siccome stai lavorando in [tex]S_6[/tex] hai finito. Altrimenti passavi al primo elemento che non apparteneva a quel ciclo e ricominciavi da capo.
Un ciclo alla fine non è molto diverso da quello che avviene in [tex]\mathbb{Z}_n[/tex]. Anche se uno è un gruppo mentre l'altro è un elemento di un gruppo.
[tex]\alpha(1) = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)(1 2 5 3 6) 1 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6) 2 = (1 3 5 6)(2 4 3 6) 2 = (1 3 5 6) 4 = 4[/tex]
[tex]\alpha^2(1) = \alpha\alpha(1) = \alpha(4) = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)(1 2 5 3 6)4 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)4 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)6 = (1 3 5 6)2 = 2[/tex]
[tex]\alpha^3(1) = \alpha\alpha^2(1) = \alpha(2) = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)(1 2 5 3 6)2 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)5 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)4 = (1 3 5 6)3 = 5[/tex]
[tex]\alpha^4(1) = \alpha\alpha^3(1) = \alpha(5) = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)(1 2 5 3 6)5 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)3 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)5 = (1 3 5 6)5 = 6[/tex]
[tex]\alpha^5(1) = \alpha\alpha^4(1) = \alpha(6) = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)(1 2 5 3 6)6 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)1 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)1 = (1 3 5 6)1 = 3[/tex]
[tex]\alpha^6(1) = \alpha\alpha^6(1) = \alpha(3) = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)(1 2 5 3 6)3 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)(3 5 4 6)6 = (1 3 5 6)(2 4 3 6)3 = (1 3 5 6)6 = 1[/tex]
Siccome [tex]\alpha^6 = 1[/tex] tu hai trovato la sua "orbita" tramite la permutazione [tex]\alpha[/tex] e quindi il ciclo a cui [tex]1[/tex] appartiene. Ogni elemento appartiene ad uno e un solo ciclo e quindi hai trovato il ciclo a cui appartengono anche [tex]2,3,4,5[/tex] e [tex]6[/tex]. Siccome stai lavorando in [tex]S_6[/tex] hai finito. Altrimenti passavi al primo elemento che non apparteneva a quel ciclo e ricominciavi da capo.
Un ciclo alla fine non è molto diverso da quello che avviene in [tex]\mathbb{Z}_n[/tex]. Anche se uno è un gruppo mentre l'altro è un elemento di un gruppo.
cosa vuol dire se un sottogruppo di una permutazione è ciclico?
"giogiu":
cosa vuol dire se un sottogruppo di una permutazione è ciclico?
La stessa cosa di un qualsiasi altro gruppo: che è generato da un solo elemento, in questo caso una permutazione.
Una cosa diversa invece sono i cicli che sono particolari permutazioni che agiscono solo su un particolare sottoinsieme e che, dato un particolare ordine di questo sottoinsieme, mandano uno nel successivo e l'ultimo nel primo. Per esempio la permutazione $(123)$ in $S_5$ manda $1$ in $2$, $2$ in $3$ e $3$ in $1$ e fissa gli altri elementi.
"vict85":
Comunque parti da 1 e andando da destra a sinistra trovi (12 quindi mandi 1 in 2 dopo di che trovi (24 e quindi mandi il 2 in 4. Alla fine della permutazione hai quindi mandato 1 in 4. Cominci quindi a scrivere (14
Ora riparti con 4 e lo mandi in 6 e il 6 in 2 quindi (142
Quindi tocca al 2 che viene mandato in 5, il 5 in 4, il 4 in 3, il 3 in 5 e quindi (1425
Tocca quindi al 5 che va in 3, il 3 in 5, il 5 in 6 e quindi (14256
Tocca il 6 che va in 1, l'1 in 3 e quindi (142563
Tocca al 3 che va in 6, il 6 in 3, il 3 va in 6, il 6 va in 1 e quindi chiudi il ciclo che è (142563)
Io non riesco a capire secondo quale logica associ prima l'1 al 2,poi si scambiano e trovi 24.. insomma il primo passaggio.. Non è che gentilmente mi potresti rispiegare meglio? Ti ringrazio anticipatamente per la risposta..
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