Esercizio principio d'Induzione
Salve a tutti ragazzi,
mi sono perso con questo stupidissimo esercizio, mi date una mano per piacere?
Mediante il principio di induzione si verifichi che per ogni $n in N$; $3^n -1$ è $pari$.
Allora dimostro che $P(1)$ è vera
$P(1) = 3^1-1 = 2$ e ovviamente $2/2$
adesso diamo vera $P(n)$ e proviamo se $P(n+1)$ è vera.
$P(n+1) = 3^(n+1) -1 = 3^n *3 -1$
Adesso mi blocco e non so cosa fare...
Maledetta materia!!!
mi sono perso con questo stupidissimo esercizio, mi date una mano per piacere?
Mediante il principio di induzione si verifichi che per ogni $n in N$; $3^n -1$ è $pari$.
Allora dimostro che $P(1)$ è vera
$P(1) = 3^1-1 = 2$ e ovviamente $2/2$
adesso diamo vera $P(n)$ e proviamo se $P(n+1)$ è vera.
$P(n+1) = 3^(n+1) -1 = 3^n *3 -1$
Adesso mi blocco e non so cosa fare...
Maledetta materia!!!
Risposte
Io proverei ad aggiungere $+3$ ed ovviamente a sottrarre $-3$, potrebbe tornare utile...
Ne approfitto per non aprire un altro thread..
Devo dimostrare questa per induzione:
$\sum_{k=1}^n k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6$
$\sum_{k=1}^(n+1) k^2 = (\sum_{k=1}^n k^2)+(n+1)^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 + (n+1)^2$
Ora cè questo passaggio che non capisco.. potete spiegarmelo nel dettaglio
?
$=(n+1) (n(2n+1)+6(n+1))/6$
Devo dimostrare questa per induzione:
$\sum_{k=1}^n k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6$
$\sum_{k=1}^(n+1) k^2 = (\sum_{k=1}^n k^2)+(n+1)^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 + (n+1)^2$
Ora cè questo passaggio che non capisco.. potete spiegarmelo nel dettaglio
?$=(n+1) (n(2n+1)+6(n+1))/6$
Non ci arrivo mistake.... 
E' una mia idea, non so se è giusta ma almeno è una via
Scrivi il tutto come $3(3^n-1)+3-1$ ovviamente è del tutto equivalente alla tua. A questo punto sappiamo per ipotesi induttiva che $3^n-1$ è pari, quindi anche $3(3^n-1)$ è pari. Ma lo è anche $3(3^n-1)+2$ poiché somma di due numeri pari. Che è quello che volevo concludere no?
Scrivi il tutto come $3(3^n-1)+3-1$ ovviamente è del tutto equivalente alla tua. A questo punto sappiamo per ipotesi induttiva che $3^n-1$ è pari, quindi anche $3(3^n-1)$ è pari. Ma lo è anche $3(3^n-1)+2$ poiché somma di due numeri pari. Che è quello che volevo concludere no?
Data per vera l'ipotesi , $3^(n+1)-1$ lo vedi come $3^n*3-1$.
Per ipotesi $3^n-1$ è pari, quindi $3^n$ è dispari cioè $2$ non divide $3^n$. $2$ non divide $3$, $2$ non divide $3^n$ pertanto $2$ non divide $3^n*3=3^(n+1)$ cioè $3^(n+1)$ è dispari... pertanto $3^(n+1)-1$ è pari.
Comunque non c'è una sola strada per dimostrarlo...
Per ipotesi $3^n-1$ è pari, quindi $3^n$ è dispari cioè $2$ non divide $3^n$. $2$ non divide $3$, $2$ non divide $3^n$ pertanto $2$ non divide $3^n*3=3^(n+1)$ cioè $3^(n+1)$ è dispari... pertanto $3^(n+1)-1$ è pari.
Comunque non c'è una sola strada per dimostrarlo...
Non saprei c'è qualcosa che non mi convince...
"Licia9":
Ne approfitto per non aprire un altro thread..
Devo dimostrare questa per induzione:
$\sum_{k=1}^n k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6$
$\sum_{k=1}^(n+1) k^2 = (\sum_{k=1}^n k^2)+(n+1)^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 + (n+1)^2$
Ora cè questo passaggio che non capisco.. potete spiegarmelo nel dettaglio
$=(n+1) (n(2n+1)+6(n+1))/6$
Basta mettere in evidenza [tex]$n+1$[/tex] e fare il mcm.
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