Esercizio principio d'induzione

[Bubino2]

Salve a tutti. Avrei bisogno di una spiegazione riguardo un esercizio:
Dimostrare per induzione che 4^n >= n*3^n per ogni n >= 20.
Il primo passo lo conosco, sostituisco ad n 20 e risolvo la disequazione che risulta vera.
Il problema è che poi non riesco a capire come si proceda con la seconda parte del principio d'induzione. Potreste spiegarmi passo per passo il procedimento ed il perché?
Grazie in anticipo

[rino6999]

allora,dobbiamo dimostrare che
$ 4^n >= n cdot3^nrArr4^(n+1)>= (n+1) cdot3^(n+1) $

$4^(n+1)=4 cdot 4^n geq 4 n cdot 3^n geq 3(n+1) cdot 3^n=(n+1) cdot 3^(n+1)$

C.V.D.

[Bubino2]

Considerando P(n): 4^n >= n*3^n
e P(n+1): 4^(n+1) >= (n+1)*3^(n+1)
mi puoi spiegare come mai utilizzi la P(n+1) nella seconda parte? Perché io avevo capito che, dopo aver trovato la P(n+1), bisognasse utilizzare la P(n) per dimostrare il risultato della P(n+1)

[rino6999]

"Bubino":io avevo capito che, dopo aver trovato la P(n+1), bisognasse utilizzare la P(n) per dimostrare il risultato della P(n+1)

ed è quello che ho fatto nel terzo passaggio della dimostrazione

[Bubino2]

"raf85":$geq 3(n+1) cdot 3^n=(n+1) cdot 3^(n+1)$

C.V.D.

Allora non riesco a capire come arrivi a questa parte..

[rino6999]

per i valori di n che stiamo considerando $4n =3n +n > 3n +3$

[Bubino2]

3n+3 l'hai ricavato da (n+1)*3^(n+1)?

[rino6999]

più precisamente , ho preso 3(n+1) perchè è proprio quel termine che moltiplicato per $3^n$ dà $(n+1)3^(n+1)$

[Bubino2]

Grazie, sei stato molto gentile. Adesso ho capito