Esercizio principio di induzione
Esercizio Principio di induzione?
Dimostra che Per ogni n > = 1 vale l'guaglianza:
1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n( n+1 ) (2n+1) tutto fratto 6
dunque secondo gli appunti del mio prof. il principio consta di 3 fasi:
1) Verificare che P(n segnato) è vera (n segnato = un numero intero positivo)
2) Si suppone che P(n) risulti vera per n maggiore uguale a n segnato
3) Dimostrare che P (n+1) è vera
La cosa che mi confonde è il fatto che il primo membro è formato tutto da numeri al quadrato...
grazieeee mille in anticipo!
PS: l'esempio che ho nel libro è:
P(n)= la somma dei primi n numeri interi positivi è uguale all'ennesimo termine che moltiplica il successivo diviso 2.
1+2+..+n= n(n+1) tutto fratto due
1) Per n segnato =1 la formula è vera
1= 1(1+1) tutto fratto 2
2) Suppongo che sia vera anche per P(n) con n maggiore o uguale a n segnato
3) Dimostro che sia vera per P(n+1)
1+2+..+n= n(n+1) tutto fratto due
1+2+..+n+(n+1)=n(n+1) + (n+1)2tutto fratto 2 = (n+1)(n+2) tutto fratto 2
uti fa[/tex]
Dimostra che Per ogni n > = 1 vale l'guaglianza:
1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n( n+1 ) (2n+1) tutto fratto 6
dunque secondo gli appunti del mio prof. il principio consta di 3 fasi:
1) Verificare che P(n segnato) è vera (n segnato = un numero intero positivo)
2) Si suppone che P(n) risulti vera per n maggiore uguale a n segnato
3) Dimostrare che P (n+1) è vera
La cosa che mi confonde è il fatto che il primo membro è formato tutto da numeri al quadrato...
grazieeee mille in anticipo!
PS: l'esempio che ho nel libro è:
P(n)= la somma dei primi n numeri interi positivi è uguale all'ennesimo termine che moltiplica il successivo diviso 2.
1+2+..+n= n(n+1) tutto fratto due
1) Per n segnato =1 la formula è vera
1= 1(1+1) tutto fratto 2
2) Suppongo che sia vera anche per P(n) con n maggiore o uguale a n segnato
3) Dimostro che sia vera per P(n+1)
1+2+..+n= n(n+1) tutto fratto due
1+2+..+n+(n+1)=n(n+1) + (n+1)2tutto fratto 2 = (n+1)(n+2) tutto fratto 2
uti fa[/tex]
Risposte
Vuol dire allora che devi aggiungere $(n+1)^2$
si, lo avevo cpt.. però poi mi perdo nei conti.. 
scrivendo solo il secondo membro faccio così, ma non so se è corretto matematicamente...
n(n+ 1)(2n+1) tutto fratto 6 + (n+1)^2
faccio il minimo comune multiplo
n(n+1)(2n+1) +6(n+1)^2 tutto fratto 6
(n+1)(2n^2+n)+ 6(n^2+2n+1) tutto fratto 6
(n+1)(2n^2+n) + (6n^ + 12n+ 6) tutto fratto 6
(n+1)(2n^2+n)+ 6n^2 +6n +6n +6 tutto fratto 6
(n+1)(2n^2 +n) +6n(n+1) +6(n+1) tutto fratto 6
(n+1)[(2n^2+n)+ 6n + 6 ] tutto fratto 6
(n+1) (2n^2 +7n +6) tutto fratto 6
(n+1) (2n^2+ 4n +3n + 6) tutto fratto 6
(n+1) [ 2n(n+2) + 3(n+2)] tutto fratto 6
(n+1) (n+2) (2n+3) tutto fratto 6
io lo faccio così, ma non so se sia troppo contorto come conto... magari ci sarà un modo più semplice, ma sarà la stanchezza non riesco a vedere un'altra strada..
n(n+ 1)(2n+1) tutto fratto 6 + (n+1)^2
faccio il minimo comune multiplo
n(n+1)(2n+1) +6(n+1)^2 tutto fratto 6
(n+1)(2n^2+n)+ 6(n^2+2n+1) tutto fratto 6
(n+1)(2n^2+n) + (6n^ + 12n+ 6) tutto fratto 6
(n+1)(2n^2+n)+ 6n^2 +6n +6n +6 tutto fratto 6
(n+1)(2n^2 +n) +6n(n+1) +6(n+1) tutto fratto 6
(n+1)[(2n^2+n)+ 6n + 6 ] tutto fratto 6
(n+1) (2n^2 +7n +6) tutto fratto 6
(n+1) (2n^2+ 4n +3n + 6) tutto fratto 6
(n+1) [ 2n(n+2) + 3(n+2)] tutto fratto 6
(n+1) (n+2) (2n+3) tutto fratto 6
io lo faccio così, ma non so se sia troppo contorto come conto... magari ci sarà un modo più semplice, ma sarà la stanchezza non riesco a vedere un'altra strada..
è giusto, perchè hai ottenuto $((n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1))/6$, cioè la formula iniziale riscritta per $n+1$
ah... grazie mille eheheh 
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