Esercizio principio di induzione
Salve a tutti,
Sto cercando di risolvere questo esercizio col principio di induzione:
$7 sum_{i=0}^(n+1) 8^i = 8^(n+2) -1$
la base dell'induzione è dimostrata e mi viene con $n=0$ :
$63 = 63$
per il passo induttivo invece faccio con $n=1$:
$8^(n+2) -1 + 7 * 8^(n+2) = 8^(n+3)-1$
Tuttavia da qui non riesco ad ottenere a sinistra dell'uguale la forma che è a destra.
Grazie a chi mi aiuterà
Sto cercando di risolvere questo esercizio col principio di induzione:
$7 sum_{i=0}^(n+1) 8^i = 8^(n+2) -1$
la base dell'induzione è dimostrata e mi viene con $n=0$ :
$63 = 63$
per il passo induttivo invece faccio con $n=1$:
$8^(n+2) -1 + 7 * 8^(n+2) = 8^(n+3)-1$
Tuttavia da qui non riesco ad ottenere a sinistra dell'uguale la forma che è a destra.
Grazie a chi mi aiuterà
Risposte
"first100":
$7 sum_{i=1}^(n+1) 8^i = 8^(n+2) -1$
la base dell'induzione è dimostrata e mi viene con $n=0$ :
$63 = 63$
La sommatoria dovrebbe forse partire da $i=0$?
Si ho corretto il testo dell'esercizio
"first100":
Sto cercando di risolvere questo esercizio col principio di induzione:
$7 sum_{i=0}^(n+1) 8^i = 8^(n+2) -1$
la base dell'induzione è dimostrata [...]
per il passo induttivo invece faccio con $n=1$:
$8^(n+2) -1 + 7 * 8^2 = 8^(n+3)-1$
Sicuro di aver fatto ciò che hai scritto?
A me non pare.
nel passo induttivo ho ragionato così, ho messo la prima parte che è la sommatoria fino a $i=1$ che è uguale come dimostrato nel passo base a $8^(n+2)−1$ e in più ho aggiunto l'ultimo elemento della sommatoria che è per $n=1 :7⋅8^(1+1)$
\[
\begin{align*}
7 \cdot \sum_{i=0}^{n+2} 8^i =& \\
=& \ 7 \cdot \left( 8^{n+2} + \sum_{i=0}^{n+1} 8^i \right) = \\
=& \ 7 \cdot 8^{n+2} + 7 \cdot \sum_{i=0}^{n+1} 8^i = \\
=& \ 7 \cdot 8^{n+2} + ( 8^{n+2} -1) =\\
=& \ ...
\end{align*}
\]
\begin{align*}
7 \cdot \sum_{i=0}^{n+2} 8^i =& \\
=& \ 7 \cdot \left( 8^{n+2} + \sum_{i=0}^{n+1} 8^i \right) = \\
=& \ 7 \cdot 8^{n+2} + 7 \cdot \sum_{i=0}^{n+1} 8^i = \\
=& \ 7 \cdot 8^{n+2} + ( 8^{n+2} -1) =\\
=& \ ...
\end{align*}
\]
Si, è a questo punto dove arrivo io ma poi mi blocco, (ho corretto qualcosa nel testo del mio primo post, scusatemi per le imprecisioni, ora è corretto)
"first100":
$8^(n+2) -1 + 7 * 8^(n+2) = 8^(n+3)-1$
Quanto fa $8^(n+2)+ 7 * 8^(n+2)$?
Quindi dovrebbe fare:
$8^(n+3) - 1$
che era quello che si doveva dimostrare.
Capito, grazie.
$8^(n+3) - 1$
che era quello che si doveva dimostrare.
Capito, grazie.
"first100":
nel passo induttivo ho ragionato così, ho messo la prima parte che è la sommatoria fino a $i=1$ che è uguale come dimostrato nel passo base a $8^(n+2)−1$ e in più ho aggiunto l'ultimo elemento della sommatoria che è per $n=1 :7⋅8^(1+1)$
Sicuro?
Controlla di nuovo, perché a me non pare proprio.
l'ultimo elemento della sommatoria è: $7*8^(n+2)$
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