Esercizio: polinomi, ideali, radicale
Buonasera a tutti, mi vorrei confrontare con qualcuno per la risoluzione del seguente esercizio e per capire se il mio approccio è corretto.
Dati i seguenti polinomi f e ideali I, determinare se f ∈√I.
In caso di risposta affermativa, determinare anche la più piccola potenza positiva m tale che $f^m ∈ I$.
(a) $ f = x + y$ $ I = ( x^3 , y^3, x*y*(x+y))$
(b) $ f = x^2 + 3*x*z $ $ I=(x+z, x^2*y, x−z^2)$
(a) penso che la potenza più piccola sia m = 3
Ho per prima cosa svolto il cubo del binomio ottenendo:
$ (x + y)^3 = x^3 + 3*x^2*y + 3*x*y^2 + y^3 $
facendo qualche semplice passaggio posso scrivere:
$ (x + y)^3 = x^3 + 3*x*y*(x+y) + y^3 $
e in questo modo ho riscritto il polinomio f come una combinazione lineare dei polinomi che generano
l'ideale I. Quindi $ f^3 $ appartiene all'ideale e quindi f appartiene al radicale di I.
(b) per questo caso invece non so bene come muovermi invece...
Ringrazio anticipatamente chiunque mi possa fornire un aiuto per affrontare questo esercizio.
Dati i seguenti polinomi f e ideali I, determinare se f ∈√I.
In caso di risposta affermativa, determinare anche la più piccola potenza positiva m tale che $f^m ∈ I$.
(a) $ f = x + y$ $ I = ( x^3 , y^3, x*y*(x+y))$
(b) $ f = x^2 + 3*x*z $ $ I=(x+z, x^2*y, x−z^2)$
(a) penso che la potenza più piccola sia m = 3
Ho per prima cosa svolto il cubo del binomio ottenendo:
$ (x + y)^3 = x^3 + 3*x^2*y + 3*x*y^2 + y^3 $
facendo qualche semplice passaggio posso scrivere:
$ (x + y)^3 = x^3 + 3*x*y*(x+y) + y^3 $
e in questo modo ho riscritto il polinomio f come una combinazione lineare dei polinomi che generano
l'ideale I. Quindi $ f^3 $ appartiene all'ideale e quindi f appartiene al radicale di I.
(b) per questo caso invece non so bene come muovermi invece...
Ringrazio anticipatamente chiunque mi possa fornire un aiuto per affrontare questo esercizio.
Risposte
Suppongo che i polinomi abbiano coefficienti in qualche dominio $A$ (tipo $RR$, $CC$ o $ZZ$)
e che $I$ sia un ideale di $A[x,y,z]$.
Nella parte (b) la questione e’ se $x^2+3xz$ e’ nilpotente o meno nell’anello quoziente
$R= A[x,y,z]//(x+z,x^2y,z-x^2)$. L’omomorfismo indotto da $z\mapsto -x$ ci
da’ un isomorfismo $R\cong A[x,y]//(x^2y,x^2 + x)$. Gli ideali $(x)$ e $(x+1,y)$
di $A[x,y]$ sono coprimi e il loro prodotto e’ $(xy,x^2 + x)=(x^2y,x^2 + x)$.
Per il teorema cinese del resto abbiamo quindi
un isomorfismo
$$R\cong A[x,y]/(x) \times A[x,y]/(x+1,y)\cong A[y]\times A.$$
Esplicitamente, l’isomorfismo e’ data da $f(x,y,z) \mapsto (f(0,y,0),f(-1,0,1))$.
In particolare, l’immagine di $x^2+3xz$ e’ uguale a $(0,-2)$ in $A[y]\times A$.
E quindi, $x^2+3xz$ non e’ nilpotente. Almeno se $char(A)!=2$.
e che $I$ sia un ideale di $A[x,y,z]$.
Nella parte (b) la questione e’ se $x^2+3xz$ e’ nilpotente o meno nell’anello quoziente
$R= A[x,y,z]//(x+z,x^2y,z-x^2)$. L’omomorfismo indotto da $z\mapsto -x$ ci
da’ un isomorfismo $R\cong A[x,y]//(x^2y,x^2 + x)$. Gli ideali $(x)$ e $(x+1,y)$
di $A[x,y]$ sono coprimi e il loro prodotto e’ $(xy,x^2 + x)=(x^2y,x^2 + x)$.
Per il teorema cinese del resto abbiamo quindi
un isomorfismo
$$R\cong A[x,y]/(x) \times A[x,y]/(x+1,y)\cong A[y]\times A.$$
Esplicitamente, l’isomorfismo e’ data da $f(x,y,z) \mapsto (f(0,y,0),f(-1,0,1))$.
In particolare, l’immagine di $x^2+3xz$ e’ uguale a $(0,-2)$ in $A[y]\times A$.
E quindi, $x^2+3xz$ non e’ nilpotente. Almeno se $char(A)!=2$.
"Stickelberger":
Suppongo che i polinomi abbiano coefficienti in qualche dominio $A$ (tipo $RR$, $CC$ o $ZZ$)
e che $I$ sia un ideale di $A[x,y,z]$.
Nella parte (b) la questione e’ se $x^2+3xz$ e’ nilpotente o meno nell’anello quoziente
$R= A[x,y,z]//(x+z,x^2y,z-x^2)$. L’omomorfismo indotto da $z\mapsto -x$ ci
da’ un isomorfismo $R\cong A[x,y]//(x^2y,x^2 + x)$. Gli ideali $(x)$ e $(x+1,y)$
di $A[x,y]$ sono coprimi e il loro prodotto e’ $(xy,x^2 + x)=(x^2y,x^2 + x)$.
Per il teorema cinese del resto abbiamo quindi
un isomorfismo
$$R\cong A[x,y]/(x) \times A[x,y]/(x+1,y)\cong A[y]\times A.$$
Esplicitamente, l’isomorfismo e’ data da $f(x,y,z) \mapsto (f(0,y,0),f(-1,0,1))$.
In particolare, l’immagine di $x^2+3xz$ e’ uguale a $(0,-2)$ in $A[y]\times A$.
E quindi, $x^2+3xz$ non e’ nilpotente. Almeno se $char(A)!=2$.
Grazie mille per avermi risposto.
Purtroppo però non riesco a capire la connessione tra l'appartenenza del polinomio al radicale e il fatto che sia nilpotente nell'anello quoziente... Ho ricontrollato il mio materiale ma davvero non riesco a trovare un legame...
so che un ideale è radicale se e solo se $A/I$ non possiede nilpotenti diversi da zero.
Ma non credo che mi possa essere utile
E' equivalente: $x\in A$ sta in $\sqrt{I}$ se e solo se la classe di $x$ in $A//I$ e' nilpotente.
Segue direttamente dalle definizioni.
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