Esercizio permutazioni

[francicko]

Consideriamo le seguenti permutazioni in $S_6$ , $(123)(456)$, ed $(1245)$ dimostrare che il sottoinsieme contenente
le suddette permutazioni genera un sottogruppo di $S_6$, e tale sottogruppo risulta essere isomorfo ad $S_4$.
Qualche idea?
Grazie, e resto in attesa di qualche suggerimento.

[vict85]

La prima parte risulta in un "ovvio": ogni sottoinsieme di un gruppo genera un sottogruppo. Per la seconda parte c'é un po' più lavoro da fare.

Hai provato a vedere che elementi ti vengono fuori moltiplicando tra di loro i generatori? Considerando che siamo in \(S_6\) e che ti deve uscire \(S_4\) probabilmente potrebbe essere fatto mostrando un isomorfismo con il gruppo degli automorfismi del cubo.

[Studente Anonimo]

Immergere [tex]S_4[/tex] in [tex]S_6[/tex] significa trovare un'azione fedele di [tex]S_4[/tex] su sei punti.
Nel caso specifico, si tratta di trovarne una transitiva.

L'uguaglianza [tex]\binom{4}{2} = 6[/tex] fa venire la seguente idea.

Considera l'insieme [tex]\Omega[/tex] dei sottoinsiemi di [tex]\{a,b,c,d\}[/tex] di due elementi, chiamali così:

[tex]1 = \{a,b\}[/tex],
[tex]2 = \{b,c\}[/tex],
[tex]3 = \{a,c\}[/tex],
[tex]4 = \{c,d\}[/tex],
[tex]5 = \{a,d\}[/tex],
[tex]6 = \{b,d\}[/tex].

Ora [tex]S_4[/tex] agisce su [tex]\Omega[/tex] nel modo ovvio. In altre parole, considera l'omomorfismo [tex]S_4 \to \text{Sym}(\Omega) \cong S_6[/tex] ottenuto mandando [tex]\sigma \in S_4[/tex] in [tex]f_{\sigma} : \Omega \to \Omega[/tex] definita da [tex]f_{\sigma}(\{x,y\}) := \{\sigma(x),\sigma(y)\}[/tex].

Per vedere che è proprio quello che ti serve, considera gli elementi [tex]f_{(abc)}[/tex] e [tex]f_{(abcd)}[/tex].