Esercizio numeri complessi
buongiorno a tutti
dati $ z_1=sqrt(2)/2 + i sqrt(2)/2 $ e $ z_2=-sqrt(2)/2 - i sqrt(2)/2 $
si definisca il prodotto $z=z_1 * z_2 $ trovare $ w $ considerando l'equazione $ w^(3) = z $
io ho fatto così:
$ z_2 $ è il coniugato di $ z_1 $ e quindi $ z_1*z_2 = z_1*bar(z_1) = |z_1|^2 $
mi risulta $ z=i $ trasformo in forma polare $ z=e^{i pi/2} $
se $ w^(3) = e^{i pi/2} $ allora $ w= e^{i pi/6} $
il risultato non è corretto, ma non capisco dove sbaglio...
grazie!
Gianluca
dati $ z_1=sqrt(2)/2 + i sqrt(2)/2 $ e $ z_2=-sqrt(2)/2 - i sqrt(2)/2 $
si definisca il prodotto $z=z_1 * z_2 $ trovare $ w $ considerando l'equazione $ w^(3) = z $
io ho fatto così:
$ z_2 $ è il coniugato di $ z_1 $ e quindi $ z_1*z_2 = z_1*bar(z_1) = |z_1|^2 $
mi risulta $ z=i $ trasformo in forma polare $ z=e^{i pi/2} $
se $ w^(3) = e^{i pi/2} $ allora $ w= e^{i pi/6} $
il risultato non è corretto, ma non capisco dove sbaglio...
grazie!
Gianluca
Risposte
Il coniugato di $ z_1=sqrt(2)/2 + i sqrt(2)/2 $ non è $ z_2=-sqrt(2)/2 - i sqrt(2)/2 $ bensì $ z_3=sqrt(2)/2 - i sqrt(2)/2 $
opsss...grazie deserto
quindi $ z=-i $ che trasformato in formato polare è $ e^{i (3*pi)/2} $
se $ w^3 = e^{i (3*pi)/2} $ allora $ w = e^{i (pi)/2} $
Il risultato non è corretto comunque... ho fatto ancora qualche errore....
Perchè quando arrivi a $w^3=-i$ non utilizzi la formula di De Moivre?
il risultato dell'esercizio è in forma polare... mi sembrava più semplice come strada...
mi danno 4 risposte:
a) $ w=e^{i7/6 pi} $
b) $ w=e^{i3/4 pi} $
c) $ w=e^{i5/6 pi} $
d) $ w=e^{i3/2 pi} $
qual è quella corretta?
$ -i $ mi descrive un'angolo di $ 270° $ ovvero i miei $ 3/2 pi $
quindi la b e la c le scarterei...
la d mi combacia con $ -i$ ma non con $ root(3)(-i) $ almeno che non mi sfugga qualcosa....
ho l'impressione che mi sfugga.... + di qualcosa
a) $ w=e^{i7/6 pi} $
b) $ w=e^{i3/4 pi} $
c) $ w=e^{i5/6 pi} $
d) $ w=e^{i3/2 pi} $
qual è quella corretta?
$ -i $ mi descrive un'angolo di $ 270° $ ovvero i miei $ 3/2 pi $
quindi la b e la c le scarterei...
la d mi combacia con $ -i$ ma non con $ root(3)(-i) $ almeno che non mi sfugga qualcosa....
ho l'impressione che mi sfugga.... + di qualcosa
"Gian74":
il risultato dell'esercizio è in forma polare
"Gian74":
mi danno 4 risposte:
a) $ w=e^{i7/6 pi} $
b) $ w=e^{i3/4 pi} $
c) $ w=e^{i5/6 pi} $
d) $ w=e^{i3/2 pi} $
Piccola precisazione: il risultato è fornito in forma esponenziale, da cui è immediato passare alla forma polare.
Se usi il metodo che ti ho indicato, ossia se ti ricavi le radici utilizzando la formula di De Moivre, ottieni subito il risultato in forma polare che riesci immediatamente a trasformare in forma esponenziale.
Credo che l'esercizio ti chieda di stabilire quale tra quelle proposte sia una delle soluzioni dell'equazione $w^3=-i$ che ha $3$ soluzioni complesse.
Fammi sapere se hai qualche perplessità.
si hai ragione ho scritto polare invece di esponenziale.
domani proverò con la formula di de Moivre.
grazie per avermi dedicato la tua domenica pomeriggio
domani proverò con la formula di de Moivre.
grazie per avermi dedicato la tua domenica pomeriggio
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