Esercizio molto generale sulla cardinalità di un gruppo

[nine98100]

Salve a tutti, ultimamente sto avendo qualche problema con questo risultato molto generale di teoria dei gruppi. Il testo è il seguente: Un gruppo, possedente un sistema numerabile di generatori, è numerabile.
La prova dovrebbe essere di natura elementare ed il libro da cui ho preso l'esercizio consiglia di sfruttare il seguente risultato: Un gruppo finitamente generabile è finito o numerabile.
Non so come procedere... Ringrazio il forum in anticipo per l'aiuto che mi darete. Buon weekend

[spugna2]

Ogni elemento del gruppo si può esprimere come prodotto di un numero finito di generatori (e/o dei loro inversi), ma allora la domanda è: quante parole puoi scrivere con una quantità numerabile di caratteri?

Raggruppiamo le parole in base alla loro lunghezza: le parole di lunghezza $l$ sono in corrispondenza con $NN^l$, quindi facendo variare $l$ abbiamo un'unione numerabile di insiemi numerabili, che è a sua volta numerabile.