Esercizio: mappa suriettiva

[Desirio]

Dire se $f: ZZ//100ZZ -> ZZ//20ZZ$ tale che $f(a+100ZZ) = (3a-1) + 20ZZ$ è suriettiva.

Per dimostrare la suriettività devo mostrare che $Im(f) = ZZ//20ZZ$. Quindi preso un qualsiasi elemento $y \in Z//20ZZ = {0,1,2,....,19}$ che sono le classi di resto modulo 20, mi chiedo se esiste $x \in {0,...., 99}$ tale che $3x - 1 + 20ZZ = y$ dove $20ZZ$ è un qualsiasi multiplo di 20. Quindi ci chiediamo se esiste $x \in ZZ//100ZZ$ tale che $3x + 20z = y + 1$.

Cioè ci chiediamo se esiste $x \in Z//100ZZ$ tale che $3x \equiv y + 1 mod 20$ ovvero $x \equiv 7(y + 1) mod 20$ dove ho moltiplicato ambo i lati per l'inverso moltiplicativo di $3$.
Quindi $x = 7(y+1) + 20ZZ$.

Se $y = 0$ ho $x = 7 + 20ZZ$,
Se $y = 1$ ho $x = 14 + 20ZZ$
Se $y = 2$ ho $x = 21 + 20ZZ = 1 + 20Z$
Se $y = 3$ ho $x = 8 + 20ZZ$
...
Se $y = 8$ ho $x = 3 + 20ZZ$
$y = 19$ ho $x = 0 + 20ZZ $

Verifico che sia corretto quanto ho scritto. Sto lavorando con le classi di resto modulo 20.
Prendo la classe di resto $8$ modulo $20$. Se $x = 3 + 20Z$ è vero che che $3(3+20ZZ)-1 + 20ZZ = 8 + 20ZZ$ ? Si è vero infatti $8 + 20*20ZZ \equiv 8 mod 20$.

Vogliamo determinare adesso $f^{-1}({0+20ZZ}) = {x + 100ZZ}$ ovvero$f({x+100ZZ}) = 0 + 20ZZ$.
Come faccio? Mi date una mano?
Grazie

[Shocker1]

Ciao,

sai che $f(x + 100\mathbb{Z}) = 0 + 20\mathbb{Z}$ cioè $3x-1 + 20 \mathbb{Z} = 0 + \mathbb{Z}$, cioè $3x-1 \equiv 0 \mod 20$, risolvi ed è fatta.