[Esercizio] Inversa destra, inversa sinistra
Sia $NN$ l'insieme dei naturali e sia $f: NN -> NN$ con $n |-> n^2$. Dimostrare che $f$ non ammette inversa destra ed esibire esplicitamente due inverse sinistre.
L'inversa destra di $f$ sarebbe la seguente composizione funzionale $f circ f^{\prime} = 1_NN$, con $f^{\prime}:NN -> NN$ e $n |-> sqrt(n)$. Tale funzione non è ammessa in quanto $AAn in NN$ non esistono tutte le radici quadrate di $n$; però la posso usare come inversa sinistra: $(f^{\prime} circ f )(n)=f^{\prime}(f(n))=f^{\prime}(n^2)=n => 1_NN$.
Se questa è un inversa sinistra, un'altra quale può essere???
Mi viene in mente $n |-> n^(1/2)$ o $n |-> n^(2/4)$ ma è sempre la stessa funzione di radice quadrata.... 
L'inversa destra di $f$ sarebbe la seguente composizione funzionale $f circ f^{\prime} = 1_NN$, con $f^{\prime}:NN -> NN$ e $n |-> sqrt(n)$. Tale funzione non è ammessa in quanto $AAn in NN$ non esistono tutte le radici quadrate di $n$; però la posso usare come inversa sinistra: $(f^{\prime} circ f )(n)=f^{\prime}(f(n))=f^{\prime}(n^2)=n => 1_NN$.
Se questa è un inversa sinistra, un'altra quale può essere???
Mi viene in mente $n |-> n^(1/2)$ o $n |-> n^(2/4)$ ma è sempre la stessa funzione di radice quadrata....
Risposte
Il punto è che non è ben definita uguale, non è che se cambi posizione in cui la componi diventa definita su tutto [tex]\mathbb N[/tex].
Prova con [tex]f_1 = \lfloor \sqrt{n} \rfloor[/tex]... e l'altra funzione la ottieni da [tex]f_1[/tex] dichiarando, ad esempio, che in [tex]3[/tex] non vale [tex]1[/tex] ma [tex]10[/tex]...
Prova con [tex]f_1 = \lfloor \sqrt{n} \rfloor[/tex]... e l'altra funzione la ottieni da [tex]f_1[/tex] dichiarando, ad esempio, che in [tex]3[/tex] non vale [tex]1[/tex] ma [tex]10[/tex]...
E' vero, hai ragione le funzioni non sono ben definite, almeno $f^{\prime}$ in quanto non è sempre vera (speravo che componendola a sinistra con $f$ mi parassi le spalle 
). Allora proviamo con $f: RR^+ -> RR$, $x |-> x^2$ e $f^{\prime} : RR^+ -> RR+$, $x |-> sqrt(x)$, dove con $RR^+$ intendo l'insieme dei reali positivi (almeno ho che le funzioni sono iniettive); ora se faccio l'inversa sinistra $f^{\prime} circ f = 1_RR$, cioè $(f^{\prime} circ f)(x)=f^{\prime}(f(x))=f^{\prime}(x^2)=x -> 1_RR$ (specifico che $1_RR : RR^+ -> RR^+$).
Così ci siamo?
Maurer, intanto grazie per la risposta, ma non ricordo il significato della notazione [tex]f_1 = \lfloor \sqrt{n} \rfloor[/tex]
Edit: ho effettuato le dovute correzioni.
). Allora proviamo con $f: RR^+ -> RR$, $x |-> x^2$ e $f^{\prime} : RR^+ -> RR+$, $x |-> sqrt(x)$, dove con $RR^+$ intendo l'insieme dei reali positivi (almeno ho che le funzioni sono iniettive); ora se faccio l'inversa sinistra $f^{\prime} circ f = 1_RR$, cioè $(f^{\prime} circ f)(x)=f^{\prime}(f(x))=f^{\prime}(x^2)=x -> 1_RR$ (specifico che $1_RR : RR^+ -> RR^+$).Così ci siamo?
Maurer, intanto grazie per la risposta, ma non ricordo il significato della notazione [tex]f_1 = \lfloor \sqrt{n} \rfloor[/tex]
Edit: ho effettuato le dovute correzioni.
Se lavori su [tex]\mathbb R[/tex] sì... però guarda che la radice non è definita sui negativi... quindi il codominio deve essere [tex]\mathbb R^+[/tex]...
Quella notazione sta semplicemente per parte intera bassa...
Quella notazione sta semplicemente per parte intera bassa...
Parte intera bassa.... quindi $ \lfloor 1,456 \rfloor = 1 $ o sbaglio?
Esatto.
Ok, grazie per l'aiuto 
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