Esercizio interi di Gauss
Definisco la mappa $g: Z \rightarrow \frac{Z}{4Z}$ che associa ad ogni $a+ib \in Z$ l'elemento $g(a+ib) = a^{2} + b^{2} + 4Z$.
1) Mi chiede se $g$ è iniettiva o suriettiva.
Le mie risposte sono ....
La mappa non è iniettiva perché $a + ib \ne b + ia$ ma i due elementi hanno la stessa immagine.
La mappa non è neanche suriettiva in quanto $[3] \in \frac{Z}{4Z}$ non è immagine di alcun intero di Gauss.
2) Consideriamo $f: Z \times C \rightarrow \frac{Z}{4Z} \times C$ tale che $f(z, x) = (g(x), x^{2})$.
Mi chiede di calcolare $f^{-1}(2+4Z, i^{2})$.
La mia risposta è .... La retroimmagine è l'insieme $f^{-1}(2+4Z, i) = { ([1]_{4} + [1]_{4} i , c )}$ dove $c \in C$ è tale che $c = -1$.
3) Questo è il punto che non riesco a capire né a risolvere ovviamente
....
Se I è un ideale massimale di $Z × C$ tale che $f(I)$ è un insieme finito allora $R/I$ è isomorfo a $C$.
Non riesco a capire né come sono fatti gli ideali massimali di $Z \times C$ ... né a cosa possa servirmi l'informazione per cui $f(I)$ è finito. .... Mi spiegate questo punto come si fa? Grazie
1) Mi chiede se $g$ è iniettiva o suriettiva.
Le mie risposte sono ....
La mappa non è iniettiva perché $a + ib \ne b + ia$ ma i due elementi hanno la stessa immagine.
La mappa non è neanche suriettiva in quanto $[3] \in \frac{Z}{4Z}$ non è immagine di alcun intero di Gauss.
2) Consideriamo $f: Z \times C \rightarrow \frac{Z}{4Z} \times C$ tale che $f(z, x) = (g(x), x^{2})$.
Mi chiede di calcolare $f^{-1}(2+4Z, i^{2})$.
La mia risposta è .... La retroimmagine è l'insieme $f^{-1}(2+4Z, i) = { ([1]_{4} + [1]_{4} i , c )}$ dove $c \in C$ è tale che $c = -1$.
3) Questo è il punto che non riesco a capire né a risolvere ovviamente
.... Se I è un ideale massimale di $Z × C$ tale che $f(I)$ è un insieme finito allora $R/I$ è isomorfo a $C$.
Non riesco a capire né come sono fatti gli ideali massimali di $Z \times C$ ... né a cosa possa servirmi l'informazione per cui $f(I)$ è finito. .... Mi spiegate questo punto come si fa? Grazie
Risposte
Il punto 1 non va bene perché potrebbe succedere che $a=b$. Per mostrare che una funzione non è iniettiva devi esibire esplicitamente due elementi diversi con la stessa immagine.
Il punto 2 non va bene perché devi descrivere esplicitamente gli elementi della retroimmagine, e non l'hai fatto.
Inoltre la definizione di $f$ mi sembra sbagliata perché a destra dell'uguale non compare $z$.
Sul punto 3, io comincerei osservando che se $(a,b) in I$ e $b ne 0$ allora gli elementi $(na,nb)$ con $n$ intero stanno tutti in $I$ e gli elementi $f(na,nb)$ sono infiniti.
Il punto 2 non va bene perché devi descrivere esplicitamente gli elementi della retroimmagine, e non l'hai fatto.
Inoltre la definizione di $f$ mi sembra sbagliata perché a destra dell'uguale non compare $z$.
Sul punto 3, io comincerei osservando che se $(a,b) in I$ e $b ne 0$ allora gli elementi $(na,nb)$ con $n$ intero stanno tutti in $I$ e gli elementi $f(na,nb)$ sono infiniti.
Per mostrare che una funzione non è iniettiva devi esibire esplicitamente due elementi diversi con la stessa immagine.Oppure molto più semplicemente: il dominio di $g$ è un insieme infinito; il codominio è finito; non può esserci nessuna funzione iniettiva in questa direzione.
Il fatto che [3] non sia nell'immagine è la conseguenza di un fatto, sei a conoscenza di tale fatto?
Nel resto: cosa sono $R$ e $C$? C probabilmente i complessi, ma $R$?
"Martino":
Il punto 1 non va bene perché potrebbe succedere che $a=b$. Per mostrare che una funzione non è iniettiva devi esibire esplicitamente due elementi diversi con la stessa immagine.
Il punto 2 non va bene perché devi descrivere esplicitamente gli elementi della retroimmagine, e non l'hai fatto.
Inoltre la definizione di $f$ mi sembra sbagliata perché a destra dell'uguale non compare $z$.
Sul punto 3, io comincerei osservando che se $(a,b) in I$ e $b ne 0$ allora gli elementi $(na,nb)$ con $n$ intero stanno tutti in $I$ e gli elementi $f(na,nb)$ sono infiniti.
Ciao e grazie per la risposta.
Per l'iniettività avevo ragionato cocì. Prendendo due elementi del dominio a+ib, c + id con la stessa immagine ne consegue che gli elementi non devono essere necessariamente uguali. Ovvero esistono interi di Gauss distinti che hanno la stessa immagine.
Avevo riportato come esempio quello in cui a + ib \neq b + ia (e forse qui dovrei precisare a \ne b) è i ma i due elementi hanno la stessa immagine.
Per il punto 2) ..
- Considero $2 + 4Z \in \frac{Z}{4Z}$ e mi chiedo quali interi di Gauss $a + ib$ sono tali che $g(a+ ib) = a^{2} + b^{2} + 4Z = 2 + 4Z$. Gli unici interi di Gauss con questa proprietà sono quelli del tipo $[1]_{4} + i [1]_{4}$.
Quindi gli elementi della retroimmagine formati da coppie ordinate $(X, X') \in Z \times C$ hanno la prima componente del tipo $[1]_{4} + i [1]_{4}$ dove $[1]_{4}$ rappresenta la classe di equivalenza modulo $4$. Ad esempio $5 + 9i$ è un intero di Gauss la cui immagine tramite $g$ è $2 + 4Z$ ...
- Per quanto riguarda la seconda componente della coppia ordinata della retroimmagine ho che voglio trovare quel numero complesso $a + ib \in C$ tale che $(a+ib)^{2} = i$ ovvero $a^{2} - b^{2} + i 2ab = i$. Quindi si dovrebbe avere $a = b$, e $2ab = 1$ ovvero $2a^{2} = 1$ da cui $a = \sqrt \frac{1}{2}$.
Quindi la retroimmagine è data da $f^{-1}.. = { ([1]_{4} + [1]_{4} i , \sqrt \frac{1}{2} + i \sqrt \frac{1}{2} ) }$ ....
Così va bene?
"Martino":
Il punto 1 non va bene perché potrebbe succedere che $a=b$. Per mostrare che una funzione non è iniettiva devi esibire esplicitamente due elementi diversi con la stessa immagine.
Il punto 2 non va bene perché devi descrivere esplicitamente gli elementi della retroimmagine, e non l'hai fatto.
Inoltre la definizione di $f$ mi sembra sbagliata perché a destra dell'uguale non compare $z$.
Sul punto 3, io comincerei osservando che se $(a,b) in I$ e $b ne 0$ allora gli elementi $(na,nb)$ con $n$ intero stanno tutti in $I$ e gli elementi $f(na,nb)$ sono infiniti.
Per il punto $3)$ data la tua osservazione possiamo dire che gli elementi di questo tipo $(a, b), b \ne 0$ non appartengono ad $I$.
Allora $I$ contiene elementi del tipo $(a+ib, 0)$ e l'immagine in questo caso risulterebbe finita e data da ${ ([0]_{4}, 0), ([1]_{4} , 0), ([2]_{4}, 0)}$. ...
Desirio, hai uno stile molto impreciso e non si capisce bene di cosa stai parlando. Il punto 1 continua ad essere molto confuso (per esempio per mostrare che la funzione $h(x)=|x|$ non è iniettiva bisogna dire una cosa tipo $h(1)=1=h(-1)$, cioè esibire due elementi espliciti con la stessa immagine), nel punto 2 non hai chiarito che notazioni stai usando (cosa significa $[1]_4+i [1]_4$ ?) e nel punto 3 non mi sembra che hai aggiunto molto a quanto ho già detto.
Inoltre non hai chiarito chi siano $R$ e $C$ e non è ancora chiaro se la definizione di $f$ è corretta oppure no. Non puoi fare matematica fondandoti su concetti imprecisi formulati in modo impreciso.
Inoltre non hai chiarito chi siano $R$ e $C$ e non è ancora chiaro se la definizione di $f$ è corretta oppure no. Non puoi fare matematica fondandoti su concetti imprecisi formulati in modo impreciso.
"Martino":
Desirio, hai uno stile molto impreciso e non si capisce bene di cosa stai parlando. Il punto 1 continua ad essere molto confuso (per esempio per mostrare che la funzione $h(x)=|x|$ non è iniettiva bisogna dire una cosa tipo $h(1)=1=h(-1)$, cioè esibire due elementi espliciti con la stessa immagine), nel punto 2 non hai chiarito che notazioni stai usando (cosa significa $[1]_4+i [1]_4$ ?) e nel punto 3 non mi sembra che hai aggiunto molto a quanto ho già detto.
Inoltre non hai chiarito chi siano $R$ e $C$ e non è ancora chiaro se la definizione di $f$ è corretta oppure no. Non puoi fare matematica fondandoti su concetti imprecisi formulati in modo impreciso.
La definizione della funzione è questa che segue $f: Z \times \mathbb{C} \rightarrow \frac{Z}{4Z} \times \mathbb{C}$ e $\forall (z, x)$ si ha $f(z, x) = (g(z), x^{2})$.
Per quanto riguarda quindi $C$ è l'insieme dei numeri complessi $\mathbb{C}$. Mentre l'insieme $R$ è l'insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$.
Per l'iniettività si osserva che $3 + 5i \ne 5 + 3i$ ma $g(3 + 5i) = 2 + 4 bb{Z} = g(5 + 3i)$. Quindi due elementi distinti del dominio vengono mappati tramite $g$ nello stesso elemento del codominio. Pertanto $g$ è non iniettiva.
Nel punto $2$ la notazione che ho usato è $[1]_{4}$ per indicare la classe di resto dell'$1$ in $\frac{Z}{4Z}$.
Per il punto $3)$ mi sono fermata perché non ho idea di come si faccia ad andare avanti.
Per esempio so che $p = 7$ in $Z$ è primo.
Quindi l'ideale massimale $I$ potrebbe essere del tipo I = ( (7) , (0) ).... L'immagine di $I$ tramite $f$ è $f(I) = {(1 + 4Z, 0) }$ ...
Il punto 1 adesso va bene. Dici che $R$ è l'insieme dei numeri reali ma è ovvio dal contesto che non lo può essere! Prova a rileggere il testo. Inoltre se non sai chi è $R$, come fai a fare il punto 3?
"Martino":
Il punto 1 adesso va bene. Dici che $R$ è l'insieme dei numeri reali ma è ovvio dal contesto che non lo può essere! Prova a rileggere il testo. Inoltre se non sai chi è $R$, come fai a fare il punto 3?
In effetti hai ragione, non sappiamo chi è $R$...
Forse $R$ è $\frac{Z \times \mathbb{C}}{I}$ ?
No, pensaci: c'è scritto che $I$ è un ideale di $ZZ xx CC$ e poi c'è scritto $R//I$. Da questi due fatti deduci che dev'essere $R = ZZ xx CC$.
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