Esercizio induzione
Salve a tutti,
io ci ho pensato a lungo, ma non riesco proprio ad intravedere una strada efficace
Dimostrare che
$\frac{n!}{n^n} < frac{1}{n}$
per $n > 2$
Grazie anticipatamente
io ci ho pensato a lungo, ma non riesco proprio ad intravedere una strada efficace
Dimostrare che
$\frac{n!}{n^n} < frac{1}{n}$
per $n > 2$
Grazie anticipatamente
Risposte
Almeno il caso base potresti provare a farlo...e poi questo esercizio è carino...un tentativo per passo induttivo se lo merita.
Supponendo che tu abbia fatto i tuoi tentativi, dimostrato il caso base & co., penso che una buona strada possa essere partire da \(\displaystyle \frac{n!}{n^n} < \frac{1}{n} \) e moltiplicare entrambi i membri per \(\displaystyle \frac{n(n+1)}{(n+1)^2} \). Semplificando arrivi ad avere \(\displaystyle \frac{1}{n+1} \) a destra e \(\displaystyle \frac{n!(n+1)}{n^{n-1}(n+1)^2}\). A questo punto dovresti concludere velocemente.
Non so se era il metodo che aveva in mente Pappappero, anche perché è la prima volta che provo a risolverlo.
Non so se era il metodo che aveva in mente Pappappero, anche perché è la prima volta che provo a risolverlo.
Avevo fatto il caso base.
L'esercizio, in ogni caso, chiedeva di dimostrare, tramite il teorema dei due carabinieri, che
$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0$
Non so se ci fosse una strada più veloce e brillante, ma io ho fatto così:
$ 0 \leq \frac{n!}{n^n} \leq \frac{1}{n} $ e da qui l'esercizio che non riuscivo a risolvere.
Ad ogni modo, innanzitutto ti ringrazio del suggerimento e poi ti domando se la mia continuazione è corretta (anche se, credo, non la più veloce)
Il numeratore è chiaramente $(n+1)!$ . Ora si tratta di vedere se $ n^{n-1}(n+1)^2 < (n+1)^{n+1}$
$n^{n-1}(n+1) < (n+1)^n$
$n^n(1+ frac{1}{n}) < (n+1)^n$
$1+ frac{1}{n} < (1+ frac{1}{n})^n$ che è evidente.
Può andare ?
[ot]Si tratta di un esercizio di quinta liceo, mi scuso se l'avete percepito come banale[/ot]
L'esercizio, in ogni caso, chiedeva di dimostrare, tramite il teorema dei due carabinieri, che
$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n} = 0$
Non so se ci fosse una strada più veloce e brillante, ma io ho fatto così:
$ 0 \leq \frac{n!}{n^n} \leq \frac{1}{n} $ e da qui l'esercizio che non riuscivo a risolvere.
Ad ogni modo, innanzitutto ti ringrazio del suggerimento e poi ti domando se la mia continuazione è corretta (anche se, credo, non la più veloce)
Il numeratore è chiaramente $(n+1)!$ . Ora si tratta di vedere se $ n^{n-1}(n+1)^2 < (n+1)^{n+1}$
$n^{n-1}(n+1) < (n+1)^n$
$n^n(1+ frac{1}{n}) < (n+1)^n$
$1+ frac{1}{n} < (1+ frac{1}{n})^n$ che è evidente.
Può andare ?
[ot]Si tratta di un esercizio di quinta liceo, mi scuso se l'avete percepito come banale[/ot]
Il punto è che questa è una sezione universitaria e quindi si è molto più fiscali sul rispetto dell'articolo 1.4 del regolamento rispetto alla sezione delle superiori.
Relativamente alla parte conclusiva direi che è senza dubbio prolissa e scritta in modo errato dal punto di vista formale.
Il metodo corretto era
1) notare che \(\displaystyle n^{n-1} < (n+1)^{n-1} \) in quando \(\displaystyle n < n+1 \) e \(\displaystyle n\ge 2 >1 \);
2) siccome \(\displaystyle (n+1)^2 > 0 \) allora \(\displaystyle n^{n-1} < (n+1)^{n-1} \) implica \(\displaystyle n^{n-1}(n+1)^2 < (n+1)^{n+1} \)
Il problema del tuo metodo è notazionale. Comune alle superiori ma comunque sbagliato. Tu scrivi \(\displaystyle n^{n-1}(n+1) < (n+1)^n \) e poi lo porti ad una versione equivalente (senza peraltro motivare il fatto che siano equivalenti) che sai essere vera. Ma la strada corretta è partire da qualcosa che sai essere vero e mostrare che è equivalente a quella che vuoi dimostrare. Quindi eventualmente dovresti scrivere le cose che hai scritto nel verso opposto. Un metodo alternativo e molto usato è quello di usare la transitività della relazione d'ordine.
Relativamente alla parte conclusiva direi che è senza dubbio prolissa e scritta in modo errato dal punto di vista formale.
Il metodo corretto era
1) notare che \(\displaystyle n^{n-1} < (n+1)^{n-1} \) in quando \(\displaystyle n < n+1 \) e \(\displaystyle n\ge 2 >1 \);
2) siccome \(\displaystyle (n+1)^2 > 0 \) allora \(\displaystyle n^{n-1} < (n+1)^{n-1} \) implica \(\displaystyle n^{n-1}(n+1)^2 < (n+1)^{n+1} \)
Il problema del tuo metodo è notazionale. Comune alle superiori ma comunque sbagliato. Tu scrivi \(\displaystyle n^{n-1}(n+1) < (n+1)^n \) e poi lo porti ad una versione equivalente (senza peraltro motivare il fatto che siano equivalenti) che sai essere vera. Ma la strada corretta è partire da qualcosa che sai essere vero e mostrare che è equivalente a quella che vuoi dimostrare. Quindi eventualmente dovresti scrivere le cose che hai scritto nel verso opposto. Un metodo alternativo e molto usato è quello di usare la transitività della relazione d'ordine.
Grazie mille, molto gentile e altrettanto chiaro.
Per quel che mi riguarda, non credo che studierò matematica all'università né tantomeno una facoltà scientifica. Ma ti do pienamente ragione sul metodo da seguire: si deve partire dal vero per giungere a ciò che vogliamo dimostrare. E' questione di logica: così in matematica, così nella vita.
Grazie ancora
Per quel che mi riguarda, non credo che studierò matematica all'università né tantomeno una facoltà scientifica. Ma ti do pienamente ragione sul metodo da seguire: si deve partire dal vero per giungere a ciò che vogliamo dimostrare. E' questione di logica: così in matematica, così nella vita.
Grazie ancora
Chiedo scusa...non ho letto negli ultimi due giorni.
Comunque sì...l'idea era quella. In questo genere di esercizi io sono in genere molto più meccanico. Scrivo quello che voglio dimostrare e trovo una riduzione facile che mi porti all'ipotesi induttiva. Il risultato è grosso modo quello che sta scritto nel primo post di vict85.
Comunque sì...l'idea era quella. In questo genere di esercizi io sono in genere molto più meccanico. Scrivo quello che voglio dimostrare e trovo una riduzione facile che mi porti all'ipotesi induttiva. Il risultato è grosso modo quello che sta scritto nel primo post di vict85.
Propongo questa soluzione:
$((n+1)!n^n)/((n+1)^(n+1)n^n)=(n!(n+1)n^n)/(n^n(n+1)(n+1)^n)<((n+1)n^n)/(n(n+1)(n+1)^n)=n^(n-1)/((n+1)(n+1)^(n-1))=(n/(n+1))^(n-1)/(n+1)<1/(n+1)$.
$((n+1)!n^n)/((n+1)^(n+1)n^n)=(n!(n+1)n^n)/(n^n(n+1)(n+1)^n)<((n+1)n^n)/(n(n+1)(n+1)^n)=n^(n-1)/((n+1)(n+1)^(n-1))=(n/(n+1))^(n-1)/(n+1)<1/(n+1)$.
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