Esercizio Herstein
Nel capitolo dell'Herstein sul teorema di Cayley mi sono imbattuto in un esercizio preliminare che proprio non mi torna: Sia $G$ un gruppo e consideriamo le applicazioni $lambda_g$ definite per $g in G$ dalla $xlambda_g = gx$. Dimostrare che $lambda_(gh) = lambda_glambda_h$.
Ma $xlambda_(gh) = ghx = g(hx) = g(xlambda_h) = xlambda_hlamda_g$, da cui $lamda_(gh) = lamda_hlamda_g$... Visto che nell'ipotesi non è specificato che $G$ sia abeliano non ho alcun motivo per concludere che l'uguaglianza richiesta dal testo sia rispettata, quindi cosa mi sto perdendo?
Ma $xlambda_(gh) = ghx = g(hx) = g(xlambda_h) = xlambda_hlamda_g$, da cui $lamda_(gh) = lamda_hlamda_g$... Visto che nell'ipotesi non è specificato che $G$ sia abeliano non ho alcun motivo per concludere che l'uguaglianza richiesta dal testo sia rispettata, quindi cosa mi sto perdendo?
Risposte
Herstein ha un modo peculiare di indicare l'applicazione di funzioni, dal lato opposto al resto del mondo. Al netto di questo, quello che ti chiede è vero.
Essendo \(\displaystyle G\) abeliano allora \(\displaystyle gh=hg\), da cui...
"fulcanelli":
Herstein ha un modo peculiare di indicare l'applicazione di funzioni, dal lato opposto al resto del mondo. Al netto di questo, quello che ti chiede è vero.
È una cosa che mi ha sempre irritato.
È inusuale ma non è l'unico. Mi è capitato di vederlo in altri libri.
@Paz Se inverti e aggiungi le parentesi non è molto complicato. Vuoi dimostrare che \(\lambda_{gh} = \lambda_{h}\circ \lambda_{g}\) con \(\lambda_{g}\colon x\mapsto gx\).
Non fa altro che la seguente:
\begin{align*} \lambda_{gh}(x) &= (gh)x & \text{per la definizione di } \lambda_{gh} \\
&= g(hx) & \text{per la proprietà associativa} \\
&= g\bigl(\lambda_{h}(x)\bigr) & \text{per definizione di } \lambda_{h} \\
&= \lambda_g\bigl(\lambda_{h}(x)\bigr) & \text{per definizione di } \lambda_{g} \\
&= (\lambda_{g}\circ\lambda_{h}) (x) & \text{per definizione della composizione di funzioni}
\end{align*}
[edit] Ok, in effetti non puoi derivare da questo che si abbia la tesi. Un errore del libro forse o una ipotesi mancante.
@Paz Se inverti e aggiungi le parentesi non è molto complicato. Vuoi dimostrare che \(\lambda_{gh} = \lambda_{h}\circ \lambda_{g}\) con \(\lambda_{g}\colon x\mapsto gx\).
Non fa altro che la seguente:
\begin{align*} \lambda_{gh}(x) &= (gh)x & \text{per la definizione di } \lambda_{gh} \\
&= g(hx) & \text{per la proprietà associativa} \\
&= g\bigl(\lambda_{h}(x)\bigr) & \text{per definizione di } \lambda_{h} \\
&= \lambda_g\bigl(\lambda_{h}(x)\bigr) & \text{per definizione di } \lambda_{g} \\
&= (\lambda_{g}\circ\lambda_{h}) (x) & \text{per definizione della composizione di funzioni}
\end{align*}
[edit] Ok, in effetti non puoi derivare da questo che si abbia la tesi. Un errore del libro forse o una ipotesi mancante.
Suppongo che tu abbia l'edizione italiana dell'Herstein.
Sull'edizione inglese l'esercizio è così riportato
Let \( G \) be a group; consider the mappings of \( G \) into itself, \( \lambda_{g} \), defined for \( g \in G \) by \( x \lambda_{g} = gx \) for all \( x \in G \). Prove that \( \lambda_{g} \) is one-to-one and onto, and that \( \lambda_{gh} = \lambda_{h} \lambda_{g} \).
Invece su quella italiana è riportato così
Sia \( G \) un gruppo. Consideriamo le applicazioni \( \lambda_{g} \) di \( G \) in sé definite per \( g \in G \), dalla \( x \lambda_{g} = gx \), per ogni \( x \in G \). Dimostrare che \( \lambda_{g} \) è iniettiva e surgettiva e che \( \lambda_{gh} = \lambda_{g} \lambda_{h} \).
Sull'edizione inglese l'esercizio è così riportato
Let \( G \) be a group; consider the mappings of \( G \) into itself, \( \lambda_{g} \), defined for \( g \in G \) by \( x \lambda_{g} = gx \) for all \( x \in G \). Prove that \( \lambda_{g} \) is one-to-one and onto, and that \( \lambda_{gh} = \lambda_{h} \lambda_{g} \).
Invece su quella italiana è riportato così
Sia \( G \) un gruppo. Consideriamo le applicazioni \( \lambda_{g} \) di \( G \) in sé definite per \( g \in G \), dalla \( x \lambda_{g} = gx \), per ogni \( x \in G \). Dimostrare che \( \lambda_{g} \) è iniettiva e surgettiva e che \( \lambda_{gh} = \lambda_{g} \lambda_{h} \).
"G.D.":
Let \( G \) be a group; consider the mappings of \( G \) into itself, \( \lambda_{g} \), defined for \( g \in G \) by \( x \lambda_{g} = gx \) for all \( x \in G \). Prove that \( \lambda_{g} \) is one-to-one and onto, and that \( \lambda_{gh} = \lambda_{h} \lambda_{g} \).
Quindi non mi sto sbagliando, è proprio un errore di stampa... in futuro mi ricorderò di consultare il testo in inglese grazie mille
"vict85":
È inusuale ma non è l'unico. Mi è capitato di vederlo in altri libri.
A me fa venire le travecole. Riesce a non farmi capire più cose che altrove, con la notazione abituale, avevo già capito. Su di me ha un effetto quasi stordente.
@Paz
Prego.
Prego.
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