Esercizio gruppo ordine 100.

[efin_90]

Buongiorno a tutti, avevo un paio di di dubbi sul seguente esercizio:
Sia G un gruppo di ordine $100$.
1) Provare che possiede un sottogruppo (normale) di ordine $50$.
2) Provare che se $G$ ha un sottogruppo normale di ordine $4$ allora è abeliano.
3) Quanti elementi di ordine $5$ può possedere $G$?
4) Provare che se $G$ ha solo 3 elementi di ordine $2$ ( e nessuno di ordine $4$) ed almeno un elemento di ordine $25$, allora $G$ è isomorfo a $Z_{2} x Z_{50}
Allora i primi due punti li ho svolti spero correttamente, i problemi sorgono al terzo e al quarto punto:
ora per calcolare gli elementi di ordine 5 come devo fare? Non posso applicare il secondo teorema di Sylow e quindi ho cercato di pensare ad altri teoremi ma non mi è venuto nulla in mente.
Per il quarto punto non so proprio come iniziare!
Grazie in anticipo

[mistake89]

per il punto 3) hai per il th. di Sylow che il $5$-sylow è unico. Quindi hai esattamente $phi(5)=4$ elementi di ordine $5$

[mistake89]

Quanto al punto 4) sai che $100=2^2*5^2$. Poichè non ci sono elementi di ordine $G$ allora il gruppo di ordine $4$ è sicuramente $ZZ_2 \times ZZ_2$, ed essendoci un elemento di ordine $25$ il $5$-sylow sarà isomorfo a $ZZ_(25)$. Quindi $G \equiv ZZ_2 \times ZZ_2 \times ZZ_(25)$. Dal th. Cinese del resto hai che, essendo $2$ e $25$ coprimi, $G \equiv ZZ_2 \times ZZ_(50)

[giaorl]

per il punto 3) hai per il th. di Sylow che il $5$-sylow è unico. Quindi hai esattamente $phi(5)=4$ elementi di ordine 5

Come fai a dire questa cosa? Il $5$-Sylow ha ordine $25$.

[mistake89]

Sì pardon. Allora $phi(25)$

[giaorl]

Sì pardon. Allora $phi(25)$

Così conti gli eventuali elementi di periodo $25$, no?
Io direi che il $5$-Sylow, avendo ordine $25=5^2$ (quadrato di un primo), è abeliano, quindi, a meno di isomorfismi è $ZZ_5\times ZZ_5$ oppure $ZZ_25$. Nel caso $ZZ_5\times ZZ_5$ avrebbe tutti gli elementi (tranne quello neutro) di periodo $5$, perchè il periodo di un elemento deve dividere l'ordine del gruppo (in questo caso un primo) e l'unico elemento di periodo $1$ è l'elemento neutro; nel caso $ZZ_25$ ci sarebbero $\phi(25)=\phi(5^2)=5(5-1)=20$ elementi di periodo $25$, più uno di periodo $1$ (l'elemento neutro), quindi i restanti, tutti di periodo $5$ per lo stesso motivo di prima, sarebbero $25-21=4$. Si possono allora avere $24$ oppure $4$ elementi di periodo $5$.

[mistake89]

Hai ragione (come al solito ) Parlo senza riflettere... Scusami Efin

[efin_90]

"giaorl":

Sì pardon. Allora $phi(25)$

Così conti gli eventuali elementi di periodo $25$, no?
Io direi che il $5$-Sylow, avendo ordine $25=5^2$ (quadrato di un primo), è abeliano, quindi, a meno di isomorfismi è $ZZ_5\times ZZ_5$ oppure $ZZ_25$. Nel caso $ZZ_5\times ZZ_5$ avrebbe tutti gli elementi (tranne quello neutro) di periodo $5$, perchè il periodo di un elemento deve dividere l'ordine del gruppo (in questo caso un primo) e l'unico elemento di periodo $1$ è l'elemento neutro; nel caso $ZZ_25$ ci sarebbero $\phi(25)=\phi(5^2)=5(5-1)=20$ elementi di periodo $25$, più uno di periodo $1$ (l'elemento neutro), quindi i restanti, tutti di periodo $5$ per lo stesso motivo di prima, sarebbero $25-21=4$. Si possono allora avere $24$ oppure $4$ elementi di periodo $5$.

Si avevo pensato di considerare sia $Z_{25}$ che $Z_{5}XZ_[5}$ solo che mi ero bloccato quando ho pensato ma elementi di ordine 5 non possono anche stare in sottogruppi di ordine 50?
Cioè quello che non mi è chiaro al 100 per cento è come mai ricerchiamo gli elementi di ordine 5 solo nel sottogruppo di ordine 25..

[giaorl]

"efin_90":Cioè quello che non mi è chiaro al 100 per cento è come mai ricerchiamo gli elementi di ordine 5 solo nel sottogruppo di ordine 25..

E' un fatto generale: uno dei punti dei Teoremi di Sylow stabilisce che dato un qualsiasi $p$-sottogruppo del gruppo, questo è contenuto in un $p$-Sylow (se vuoi un riferimento bibliografico: Piacentini-Cattaneo, pag.275). Nel caso in cui vuoi trovare un elemento di periodo primo, consideri il sottogruppo generato da questo, che è necessariamente contenuto nel Sylow realativo. Se vuoi che ti convinca del fatto che un elemento di periodo 5 sta anche in un sottogruppo di ordine 50, è perchè il 5-Sylow di questo sottogruppo ha ordine 25 ed è lo stesso del gruppo di partenza

[efin_90]

Si ora diciamo che sono più convinto anche se sconoscevo l'esistenza di questo punto del teorema di Sylow!
Comunque grazie a tutti per le risposte.