Esercizio gruppo normale

[perplesso1]

MI confermate se ho fatto bene? L'eserizio è questo:

Sia G un gruppo e H un sottogruppo di G. Provare che H è normale se e solo se $ \forall x,y \in G , xy \in H \Leftrightarrow yx \in H $ .

Supponendo H normale

$ xy \in H \Leftrightarrow y^{-1}x^{-1} \in H \Leftrightarrow x^{-1} \in yH=Hy \Leftrightarrow x^{-1}=(x^{-1}y^{-1})y \in Hy \Leftrightarrow x^{-1}y^{-1} \in H \Leftrightarrow yx in H$

Viceversa

$ y \in xH \Leftrightarrow x^{-1}y \in H \Leftrightarrow yx^{-1} \in H \Leftrightarrow xy^{-1}=(yx^{-1})^{-1} \in H \Leftrightarrow y \in Hx $

da cui $ \forall x \in G, xH=Hx $ e H è normale

[perplesso1]

Sia G un gruppo e H,K sottogruppi tali che $ H \le K $. Sia N un sottogruppo normale di G tale che $ HN=KN $ e $ H \cap N = K \cap N $. Provare che H=K.

Io ho ragionato così. Poichè N è normale HN=NH e KN=NK. Sfruttando l'identità di Dedekind $ H = HN \cap H = H(N \cap H) = H(N \cap K) = HN \cap K = KN \cap K = K $

è giusto? Grazie

[perplesso1]

Mi dispiace annoiarvi ma purtroppo ho un eserciziario senza soluzioni. Se qualcuno mi dice un "si" o un "no" mi fa un grandissimo favore Grazie

Sia G un gruppo e siano $ a,b \in G $ elementi coniugati. Mostrare che i centralizzanti $ C_{G}(a) $ e $ C_{G}(b) $ sono coniugati.

Allora... esiste $ x \in G : a=x^{-1}bx $ quindi $ z \in C_{G}(a) \leftrightarrow az=za \leftrightarrow x^{-1}bxz=zx^{-1}bx \leftrightarrow b(xzx^{-1})=(xzx^{-1})b \leftrightarrow xzx^{-1} \in C_{G}(b) \leftrightarrow z \in x^{-1}C_{G}(b)x $

E concludo $ C_{G}(a)=x^{-1}C_{G}(b)x $

[Studente Anonimo]

E' tutto giusto.

Osserva che la morale del primo esercizio che hai scritto è la seguente: se [tex]x,y[/tex] sono due elementi di un gruppo allora [tex]xy[/tex] e [tex]yx[/tex] sono coniugati.

[perplesso1]

Hai ragione con questa osservazione è tutto più smplice. Grazie infinite
Quanto prima vi annoierò con qualche altro esercizio