Esercizio gruppo di ordine 168..
Salve avrei un esercizio sui gruppi sul quale vorrei dei suggerimenti:
Sia $G$ un gruppo semplice di ordine $168$.
Quanti sono i suoi sottogruppi di ordine $7$?
Dimostrare che esiste un sottogruppo di ordine $21$.
Dimostrare che non esiste un sottogruppo di ordine $14$.
Io ho solo iniziato trovando le rispettive possibilità per il numero $n_p$ dei $p$-Sylow. ($168=7\cdot3\cdot2^3$):
$n_7=1$ oppure $8$
$n_3=1$ oppure $4$ oppure $7$ oppure $28$
$n_2=1$ oppure $3$ oppure $7$ oppure $21$
Ora non saprei come proseguire..mi date un indizio?
Sia $G$ un gruppo semplice di ordine $168$.
Quanti sono i suoi sottogruppi di ordine $7$?
Dimostrare che esiste un sottogruppo di ordine $21$.
Dimostrare che non esiste un sottogruppo di ordine $14$.
Io ho solo iniziato trovando le rispettive possibilità per il numero $n_p$ dei $p$-Sylow. ($168=7\cdot3\cdot2^3$):
$n_7=1$ oppure $8$
$n_3=1$ oppure $4$ oppure $7$ oppure $28$
$n_2=1$ oppure $3$ oppure $7$ oppure $21$
Ora non saprei come proseguire..mi date un indizio?
Risposte
Tieni conto che i [tex]$7$[/tex]-Sylow ed i $3$-Sylow sono sottogrupppi abeliani, quindi la loro intersezione è identica!
Premesso ciò, inizia a supporre che [tex]$n_7=8$[/tex] e conta gli elementi che sono nell'unione di tali sottogruppi.
Premesso ciò, inizia a supporre che [tex]$n_7=8$[/tex] e conta gli elementi che sono nell'unione di tali sottogruppi.
Supponendo $n_7=8$ si avrebbero $7\cdot8=56$ elementi di ordine $7$ oltre all'identità di $G$..poi però non riesco ad escludere neanche $n_3=28$ perchè otterrei altri 56 elementi di ordine $3$ e non uscirei dalla cardinalità di $G$..
In un gruppo di ordine $7$ ci sono $6$ elementi non identici. Quindi avresti $6*8=48$ elementi distinti di ordine $7$. Più l'identità sei a $49$ elementi.
Inoltre non è detto che tu debba sempre "uscir fuori", ma ti basta anche far vedere che non si arriva al numero in nessuno dei casi!
Inoltre non è detto che tu debba sempre "uscir fuori", ma ti basta anche far vedere che non si arriva al numero in nessuno dei casi!
Si scusa avevo invertito il $7$ e l'$8$..dunque ci sono $6\cdot8=48$ elementi più l'identità ed arrivo a $49$ come hai detto tu.
Ora però non capisco in che senso mi basta far vedere che non si arriva al numero in nessuno dei casi.
In un gruppo non esistono solo i $p-$Sylow..quindi non mi esauriscono tutto il gruppo o sbaglio?
Ora però non capisco in che senso mi basta far vedere che non si arriva al numero in nessuno dei casi.
In un gruppo non esistono solo i $p-$Sylow..quindi non mi esauriscono tutto il gruppo o sbaglio?
Mmm sì, in effetti credo di non aver detto una cosa corretta, Pardon! 
Ci devo pensare un po' meglio.
Ci devo pensare un po' meglio.
"aleio1":Strana formulazione dell'esercizio.
Sia $G$ un gruppo di ordine $168$.
Quanti sono i suoi sottogruppi di ordine $7$?
Dimostrare che esiste un sottogruppo di ordine $21$.
Dimostrare che non esiste un sottogruppo di ordine $14$.
I sottogruppi di ordine 7 possono benissimo essere 1 oppure 8. Per esempio il gruppo ciclico di ordine [tex]168[/tex] ha un solo 7-Sylow e ovviamente ha un sottogruppo di ordine 14 (in particolare la terza richiesta dell'esercizio è insensata), mentre il gruppo [tex]GL(3,2)[/tex] delle matrici invertibili [tex]3 \times 3[/tex] a coefficienti in [tex]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/tex] ha ordine [tex]168[/tex] ed è semplice non abeliano, in particolare ha esattamente otto 7-Sylow. E' vero che esiste un sottogruppo di ordine 21, per vederlo puoi considerare il normalizzante di un 7-Sylow se quest'ultimo non è normale, altrimenti consideri il prodotto di un 7-Sylow con un 3-Sylow.
scusate sono stupido..non avevo letto che il gruppo fosse semplice:) cmq ora si che si può ragionare..ci ritorno su..
ps. grazie mille Martino..ad ogni modo puoi spiegarmi perchè [tex]o(GL(3,2))=168[/tex]?
"aleio1":Vuoi dire che la semplicità del gruppo è una delle ipotesi? In questo caso sarebbe meglio se tu modificassi il tuo primo intervento (cliccando su "modifica") e la aggiungessi
non avevo letto che il gruppo fosse semplice:) cmq ora si che si può ragionare..ci ritorno su..
"aleio1":E' un conto di tipo combinatorio che di solito si impara a fare al primo anno. Le matrici invertibili [tex]3 \times 3[/tex] a coefficienti nel campo con [tex]q[/tex] elementi sono determinate dalla scelta della prima colonna ([tex]q^3-1[/tex] scelte, dato che non dev'essere la colonna nulla), della seconda ([tex]q^3-q[/tex] scelte, dato che non dev'essere proporzionale alla prima colonna) e della terza ([tex]q^3-q^2[/tex] scelte, dato che non deve appartenere al sottospazio generato dalle due prime colonne, che ha [tex]q^2[/tex] elementi). Quindi
puoi spiegarmi perchè [tex]o(GL(3,2))=168[/tex]?
[tex]|GL(3,q)| = (q^3-1)(q^3-q)(q^3-q^2)[/tex].
Se metti [tex]q=2[/tex] ottieni [tex]168[/tex]. Ed è noto che [tex]GL(3,2)[/tex] è un gruppo semplice.
Con l'ipotesi di semplicità l'esercizio ha molto più senso. Per esempio, i 7-Sylow non possono essere uno (altrimenti sarebbero normali) quindi sono otto. Per quanto riguarda gli altri due punti, considera il normalizzante di un 7-Sylow.
Praticamente la cosa fondamentale che ti devi ricordare qui è il fatto che il numero di coniugati di un sottogruppo è uguale all'indice del suo normalizzante (questo fatto segue dal cosiddetto teorema "orbita-stabilizzatore", che lega la cardinalità dell'orbita di un punto con l'ordine del suo stabilizzatore. Se hai fatto le azioni dei gruppi lo conosci).
"aleio1":In effetti, per come lo avevi scritto, il dato gruppo poteva essere ciclico e quindi false le tue richieste!
...non avevo letto che il gruppo fosse semplice...
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