Esercizio Gruppo ciclico
Salve sto risolvendo questo esercizio:
In $ ZZ 12 $ si consideri l’operazione ∗ definita da:
$ a ∗ b = a + b + 3 $
Un punto dell'esercizio mi chiede:
Per il periodo di un elemento non ho problemi visto che il calcolo è semplice. In ogni caso per trovarmi il periodo di un elemento ho bisogno di un generatore.
Per definizione l'insieme generato da un elemento a è $ {a^h | h in ZZ} $
Io ho provato a fare le potenze di due (premetto che se non ho sbagliato i calcoli l'elemento neutro è $ hat 9 $ (non riesco ad inserire il simbolo di segnato) in questo modo:
$ hat 2 ^ 1 = e ** hat 2 = hat 9 ** hat 2 = hat 9 + hat 2 + hat 3 = hat 2$ e così via però $ hat 2 ^ 11 $ non mi dà l'elemento neutro quindi ho 2 problemi:
O io ho sbagliato nel calcolo dell'elemnto neutro oppure sbaglio nel fare le potenze
Grazie per l'aiuto purtroppo è la prima volta che faccio questo tipo di esercizi quindi mi scuso se scrivo delle cavolate
In $ ZZ 12 $ si consideri l’operazione ∗ definita da:
$ a ∗ b = a + b + 3 $
Un punto dell'esercizio mi chiede:
Determinare in tale gruppo i periodi di 0, 1, 2 e dedurre che uno di essi e’ un generatore.
Per il periodo di un elemento non ho problemi visto che il calcolo è semplice. In ogni caso per trovarmi il periodo di un elemento ho bisogno di un generatore.
Per definizione l'insieme generato da un elemento a è $ {a^h | h in ZZ} $
Io ho provato a fare le potenze di due (premetto che se non ho sbagliato i calcoli l'elemento neutro è $ hat 9 $ (non riesco ad inserire il simbolo di segnato) in questo modo:
$ hat 2 ^ 1 = e ** hat 2 = hat 9 ** hat 2 = hat 9 + hat 2 + hat 3 = hat 2$ e così via però $ hat 2 ^ 11 $ non mi dà l'elemento neutro quindi ho 2 problemi:
O io ho sbagliato nel calcolo dell'elemnto neutro oppure sbaglio nel fare le potenze
Grazie per l'aiuto purtroppo è la prima volta che faccio questo tipo di esercizi quindi mi scuso se scrivo delle cavolate
Risposte
il "segnato" si dovrebbe fare con \bar oppure con \overline
Non capisco perche' un generatore dovrebbe essere $\bar 9$, se l'esercizio richiede di trovarlo fra gli elementi $0$, $1$ e $2$.
Non capisco perche' un generatore dovrebbe essere $\bar 9$, se l'esercizio richiede di trovarlo fra gli elementi $0$, $1$ e $2$.
@LS005:
(1) Per trovare il periodo di un elemento, non hai bisogno di un generatore:
in \(\mathbb Z/36\mathbb Z\) il periodo di $\bar 18$ e' $2$. Perche'? Hai avuto bisogno di un generatore?
(2) Forse fai confusione fra notazione additiva ($+$) e notazione moltiplicativa (\(\cdot\)), il sottogruppo ciclico generato in un gruppo $G$ da un elemento $g\in G$ e', per definizione, il piu' piccolo sottogruppo di $G$ che contiene l'elemento dato $g$ (ed e' denotato di solito con $$) e quindi si trova che:
in notazione moltiplicativa \(=\{g^n\mid n\in\mathbb Z\}\) (dove, per esempio, $g^2=g * g$, etc.),
mentre se la legge di gruppo di $G$ e' scritta additivamente, cioe'
in notazione additiva \(=\{ng \mid n\in\mathbb Z\}\) (dove, per esempio, $2g=g+g$, etc.)
Non e' (solo) un insieme, e' sottogruppo...
Ti posto due tracce di soluzione, spero ti siano d'aiuto
PRIMA SOLUZIONE: Bah...piglia un gruppo, facciamo abeliano, $A=(|A|,+,0)$ ($|A|$ e' l'insieme degli elementi del gruppo $A$), fissa un elemento a caso $h\in A$ e definisci una nuova "struttura" $A_h=(|A_h|,\oplus ,0_{A_h})$ cosi':
(1) $|A_h|:=|A|$ (stessi elementi del gruppo $A$), (2) $a\oplus b:=a+ b+ h$ per ogni $a,b\in A_h$ (3) $0_{A_h}=-h$.
Ora, visto che l'$A$ di partenza e' un gruppo, la traslazione \(T_{-h} \colon A\rightarrow A_h,a\mapsto a+ (-h)\) e' pacificamente biettiva (l'inversa e'...?), ed inoltre:\[T_{-h}(a+ b)=(a+ b)+(-h)=a+ b + (-h)=(a+ (-h))+ (b + (-h))+ h= T_{-h}(a)\oplus T_{-h}(b).\]
Ok, allora $A_h$ e' un gruppo isomorfo ad $A$ (tramite $T_{-h}$) solo che hai, perversamente, "spostato" l'origine in $-h$. Ti e' chiaro perche'? Perche' posso "saltare" la verifica che l' $A_h$ che ho definito e' effettivamente un gruppo?
Ok, prendi ora \(A=\mathbb Z/12\mathbb Z\) (classi di resto modulo $12$) e $h=\bar 3$, ti e' chiaro che $A_h$ e' il tuo \((\mathbb Z/12\mathbb Z,*)\) (in cui $-h=\overline{ -3}=\bar 9$ e' l'elemento neutro)?
Forse sai che \(A=\mathbb Z/12\mathbb Z\) e' gruppo (additivo) ciclico con generatori ciclici: $\bar 1$, oppure $\bar 5$, oppure $\bar 7$, oppure ancora $\bar 11$ (sai come si trovano i generatori ciclici di un qualunque \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) additivo?); e allora quali saranno i generatori ciclici di $A_h$? visto che $A$ e' isomorfo ad $A_h$ via $T_{-h}$...
SECONDA SOLUZIONE:
(1) verifichi con tutti i crismi che il tuo \((\mathbb Z/12\mathbb Z,*)\) sia effettivamente un gruppo (pure abeliano): associativita' (commutativita'), elemento neutro, inversi...
(2) Rasserenato dal fatto che e' proprio un gruppo...si fa per dire....fai "due" conti (la morte dell'anima...):
\({\bar 0}^0=\bar 9\)
\({\bar 0}^1=\bar 0\)
\({\bar 0}^2=\bar 0*\bar 0=\bar 0 +\bar 0+ \bar 3=\bar 3\)
\({\bar 0}^3={\bar 0}^2*\bar 0=\bar 3 +\bar 0+ \bar 3=\bar 6\)
\({\bar 0}^4={\bar 0}^3*\bar 0=\bar 6 +\bar 0+ \bar 3=\bar 9\)
\({\bar 0}^5={\bar 0}^4*\bar 0=\bar 9 +\bar 0+ \bar 3=\bar 0\)
\({\bar 0}^6={\bar 0}^5*\bar 0=\bar 0 +\bar 0+ \bar 3=\bar 3={\bar 0}^2\) ---> inizi a girare in tondo...
E quindi \(<\bar 0>=...\)? E' un generatore? Osserva il confortante fatto che l'elemento neutro ($\bar 9$) del trabicolo appartiene al sottogruppo (\(<\bar 0>\))...forse non ho sbagliato i conti...
Ora stessa zuppa per $\bar 1$ e $\bar 2$, che allegria...
COMMENTI
(a) Per $\bar 0^0=\bar 9$ e $\bar 0^1=\bar 0$ non devi fare nessun conto:
per ogni gruppo $G$, per ogni $g\in G$ si definisce \(g^0:=e\), elemento neutro del gruppo $G$.
ATTENZIONE: in notazione additiva questo si legge: $0 * a=0_A$, senno'...succedon disastri...
Inoltre, per ogni gruppo $G$, per ogni $g\in G$, di nuovo, si definisce \(g^1:=g\), l'elemento stesso.
In notazione additiva questo si legge: $1 * a=a$.
Quindi per $\bar 2^1=\bar 2$ in realta' non hai nessun conto da fare (tra l'altro non ho capito che conto hai fatto: e' chiaro che $g * e$ deve venirti $g$...)
(b) Forse pensi al risulato: \(g^{\text{Card}(G)}=e\) per ogni $g\in G$ se $G$ e' un gruppo finito (con $\text{Card}(G)$ elementi). Giusto, ma nel tuo caso, quanto vale $\text{Card}(G)$? 11? o forse 12?
Vediamo:
\(\bar 2 ^{11}=\bar 2^8 * \bar 2^2 *\bar 2=((\bar 2^2)^2)^2 * \bar 2^2 *\bar 2\): ora \(\bar 2 ^2=\bar 2 *\bar 2=\bar 7\), \(\bar 7 ^2=\bar 7 *\bar 7=\bar 5\) e \(\bar 5 ^2=\bar 5 *\bar 5=\bar 1\). Quindi \(\bar 2 ^{11}=((\bar 2^2)^2)^2 * \bar 2^2 *\bar 2=\bar 1 * \bar 7*\bar 2=\bar 4\) che, palesemente, e' \(\neq \bar 9=e\), pero' allora \(\bar 2 ^{12}= \bar 2^{11} * \bar 2=\bar 4 *\bar 2= ? \)
Per controllo ti dico che i generatori ciclici di 'sto trabicolo di \((\mathbb Z/12\mathbb Z,*)\) dovrebbere essere (salvo miei errori di conto): $\bar 2, \bar 4, \bar 8, \bar 10$.
Ciao
"LS005":
In ogni caso per trovarmi il periodo di un elemento ho bisogno di un generatore.
(1) Per trovare il periodo di un elemento, non hai bisogno di un generatore:
in \(\mathbb Z/36\mathbb Z\) il periodo di $\bar 18$ e' $2$. Perche'? Hai avuto bisogno di un generatore?
(2) Forse fai confusione fra notazione additiva ($+$) e notazione moltiplicativa (\(\cdot\)), il sottogruppo ciclico generato in un gruppo $G$ da un elemento $g\in G$ e', per definizione, il piu' piccolo sottogruppo di $G$ che contiene l'elemento dato $g$ (ed e' denotato di solito con $
in notazione moltiplicativa \(
mentre se la legge di gruppo di $G$ e' scritta additivamente, cioe'
in notazione additiva \(
"LS005":
Per definizione l'insieme generato da un elemento a è $ {a^h | h in ZZ} $
Non e' (solo) un insieme, e' sottogruppo...
Ti posto due tracce di soluzione, spero ti siano d'aiuto
PRIMA SOLUZIONE: Bah...piglia un gruppo, facciamo abeliano, $A=(|A|,+,0)$ ($|A|$ e' l'insieme degli elementi del gruppo $A$), fissa un elemento a caso $h\in A$ e definisci una nuova "struttura" $A_h=(|A_h|,\oplus ,0_{A_h})$ cosi':
(1) $|A_h|:=|A|$ (stessi elementi del gruppo $A$), (2) $a\oplus b:=a+ b+ h$ per ogni $a,b\in A_h$ (3) $0_{A_h}=-h$.
Ora, visto che l'$A$ di partenza e' un gruppo, la traslazione \(T_{-h} \colon A\rightarrow A_h,a\mapsto a+ (-h)\) e' pacificamente biettiva (l'inversa e'...?), ed inoltre:\[T_{-h}(a+ b)=(a+ b)+(-h)=a+ b + (-h)=(a+ (-h))+ (b + (-h))+ h= T_{-h}(a)\oplus T_{-h}(b).\]
Ok, allora $A_h$ e' un gruppo isomorfo ad $A$ (tramite $T_{-h}$) solo che hai, perversamente, "spostato" l'origine in $-h$. Ti e' chiaro perche'? Perche' posso "saltare" la verifica che l' $A_h$ che ho definito e' effettivamente un gruppo?
Ok, prendi ora \(A=\mathbb Z/12\mathbb Z\) (classi di resto modulo $12$) e $h=\bar 3$, ti e' chiaro che $A_h$ e' il tuo \((\mathbb Z/12\mathbb Z,*)\) (in cui $-h=\overline{ -3}=\bar 9$ e' l'elemento neutro)?
Forse sai che \(A=\mathbb Z/12\mathbb Z\) e' gruppo (additivo) ciclico con generatori ciclici: $\bar 1$, oppure $\bar 5$, oppure $\bar 7$, oppure ancora $\bar 11$ (sai come si trovano i generatori ciclici di un qualunque \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) additivo?); e allora quali saranno i generatori ciclici di $A_h$? visto che $A$ e' isomorfo ad $A_h$ via $T_{-h}$...
SECONDA SOLUZIONE:
(1) verifichi con tutti i crismi che il tuo \((\mathbb Z/12\mathbb Z,*)\) sia effettivamente un gruppo (pure abeliano): associativita' (commutativita'), elemento neutro, inversi...
(2) Rasserenato dal fatto che e' proprio un gruppo...si fa per dire....fai "due" conti (la morte dell'anima...):
\({\bar 0}^0=\bar 9\)
\({\bar 0}^1=\bar 0\)
\({\bar 0}^2=\bar 0*\bar 0=\bar 0 +\bar 0+ \bar 3=\bar 3\)
\({\bar 0}^3={\bar 0}^2*\bar 0=\bar 3 +\bar 0+ \bar 3=\bar 6\)
\({\bar 0}^4={\bar 0}^3*\bar 0=\bar 6 +\bar 0+ \bar 3=\bar 9\)
\({\bar 0}^5={\bar 0}^4*\bar 0=\bar 9 +\bar 0+ \bar 3=\bar 0\)
\({\bar 0}^6={\bar 0}^5*\bar 0=\bar 0 +\bar 0+ \bar 3=\bar 3={\bar 0}^2\) ---> inizi a girare in tondo...
E quindi \(<\bar 0>=...\)? E' un generatore? Osserva il confortante fatto che l'elemento neutro ($\bar 9$) del trabicolo appartiene al sottogruppo (\(<\bar 0>\))...forse non ho sbagliato i conti...
Ora stessa zuppa per $\bar 1$ e $\bar 2$, che allegria...
COMMENTI
"LS005":
Io ho provato a fare le potenze di due [...] in questo modo:
$ hat 2 ^ 1 = e ** hat 2 = hat 9 ** hat 2 = hat 9 + hat 2 + hat 3 = hat 2$ e così via [...]
(a) Per $\bar 0^0=\bar 9$ e $\bar 0^1=\bar 0$ non devi fare nessun conto:
per ogni gruppo $G$, per ogni $g\in G$ si definisce \(g^0:=e\), elemento neutro del gruppo $G$.
ATTENZIONE: in notazione additiva questo si legge: $0 * a=0_A$, senno'...succedon disastri...
Inoltre, per ogni gruppo $G$, per ogni $g\in G$, di nuovo, si definisce \(g^1:=g\), l'elemento stesso.
In notazione additiva questo si legge: $1 * a=a$.
Quindi per $\bar 2^1=\bar 2$ in realta' non hai nessun conto da fare (tra l'altro non ho capito che conto hai fatto: e' chiaro che $g * e$ deve venirti $g$...)
"LS005":
[...] però $ hat 2 ^ 11 $ non mi dà l'elemento neutro quindi ho 2 problemi:
(b) Forse pensi al risulato: \(g^{\text{Card}(G)}=e\) per ogni $g\in G$ se $G$ e' un gruppo finito (con $\text{Card}(G)$ elementi). Giusto, ma nel tuo caso, quanto vale $\text{Card}(G)$? 11? o forse 12?
Vediamo:
\(\bar 2 ^{11}=\bar 2^8 * \bar 2^2 *\bar 2=((\bar 2^2)^2)^2 * \bar 2^2 *\bar 2\): ora \(\bar 2 ^2=\bar 2 *\bar 2=\bar 7\), \(\bar 7 ^2=\bar 7 *\bar 7=\bar 5\) e \(\bar 5 ^2=\bar 5 *\bar 5=\bar 1\). Quindi \(\bar 2 ^{11}=((\bar 2^2)^2)^2 * \bar 2^2 *\bar 2=\bar 1 * \bar 7*\bar 2=\bar 4\) che, palesemente, e' \(\neq \bar 9=e\), pero' allora \(\bar 2 ^{12}= \bar 2^{11} * \bar 2=\bar 4 *\bar 2= ? \)
Per controllo ti dico che i generatori ciclici di 'sto trabicolo di \((\mathbb Z/12\mathbb Z,*)\) dovrebbere essere (salvo miei errori di conto): $\bar 2, \bar 4, \bar 8, \bar 10$.
Ciao
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