Esercizio - Gruppo abeliano ed equiv. compatibile
Esercizio: Sia [tex]$G$[/tex] un gruppo e sia data la relazione di equivalenza su [tex]$G$[/tex] per cui [tex]$x \sim y$[/tex] se e solo se [tex]$\exists h \in G | h x h^{-1} = y$[/tex].
Devo dimostrare che la relazione [tex]$\sim$[/tex] è compatibile se e solo se il gruppo [tex]$G$[/tex] è abeliano.
Idee:
Una implicazione è banale: si dimostra facilmente che se [tex]$G$[/tex] è abeliano allora [tex]$\sim$[/tex] è compatibile.
Viceversa ho fatto come segue. Supponiamo che [tex]$\sim$[/tex] sia una relazione di equivalenza compatibile. Il sottogruppo normale associato a questa equivalenza è la classe dell'elemento neutro dell'insieme quoziente [tex]$N = [e_G]_{G/ \sim}$[/tex].
Si vede che l'unico elemento presente nel sgr normale [tex]$N$[/tex] è l'elemento neutro stesso.
Allora passiamo a considerare la proiezione canonica sul quoziente [tex]$\pi : G \to G/[e_G]$[/tex]; questo è un omomorfismo suriettivo di gruppi per cui [tex]$ker \pi = N = {e_G}$[/tex]. Poiché il nucleo è banale l'omomorfismo [tex]$\pi$[/tex] è un isomorfismo di gruppi. Questo dovrebbe provare che, se due elementi appartengono alla stessa classe in [tex]$G/N = G/ \sim$[/tex], allora sono lo stesso elemento.
Mi sembra un po' strano. Sono giuste queste considerazioni?
Devo dimostrare che la relazione [tex]$\sim$[/tex] è compatibile se e solo se il gruppo [tex]$G$[/tex] è abeliano.
Idee:
Una implicazione è banale: si dimostra facilmente che se [tex]$G$[/tex] è abeliano allora [tex]$\sim$[/tex] è compatibile.
Viceversa ho fatto come segue. Supponiamo che [tex]$\sim$[/tex] sia una relazione di equivalenza compatibile. Il sottogruppo normale associato a questa equivalenza è la classe dell'elemento neutro dell'insieme quoziente [tex]$N = [e_G]_{G/ \sim}$[/tex].
Si vede che l'unico elemento presente nel sgr normale [tex]$N$[/tex] è l'elemento neutro stesso.
Allora passiamo a considerare la proiezione canonica sul quoziente [tex]$\pi : G \to G/[e_G]$[/tex]; questo è un omomorfismo suriettivo di gruppi per cui [tex]$ker \pi = N = {e_G}$[/tex]. Poiché il nucleo è banale l'omomorfismo [tex]$\pi$[/tex] è un isomorfismo di gruppi. Questo dovrebbe provare che, se due elementi appartengono alla stessa classe in [tex]$G/N = G/ \sim$[/tex], allora sono lo stesso elemento.
Mi sembra un po' strano. Sono giuste queste considerazioni?
Risposte
Se [tex]$G$[/tex] fosse abeliano [tex]$\sim$[/tex] sarebbe l'identità!
Essendo il nucleo di [tex]$\sim$[/tex] il sottogruppo identico, supposto che tale sia una congruenza (per essere brevi)...
Essendo il nucleo di [tex]$\sim$[/tex] il sottogruppo identico, supposto che tale sia una congruenza (per essere brevi)...
"j18eos":
Se [tex]$G$[/tex] fosse abeliano [tex]$\sim$[/tex] sarebbe l'identità!
Ma sì, questo sono riuscito a dimostrarlo. Io supponevo, viceversa, che sia [tex]$\sim$[/tex] compatibile e devo dimostrare che [tex]$G$[/tex] è abeliano.
Sono giunto alla conclusione che [tex]$\sim$[/tex] è la relazione di uguaglianza. E' corretto fin qui?
Grazie.
Sì, il proseguo con gli omomorfismi lo vedo (sindacabilmente) inutile!
Prova così: sai che [tex]$\forall g\in G,\,\{g\}=[g]_{\sim}=\{g^h=h^{-1}gh\in G\mid h\in G\}$[/tex] allora... oppure sbaglio?
OUT OF SELF Ho scritto abbastanza per oggi con tutta la calura che mi arriva!
Prova così: sai che [tex]$\forall g\in G,\,\{g\}=[g]_{\sim}=\{g^h=h^{-1}gh\in G\mid h\in G\}$[/tex] allora... oppure sbaglio?
OUT OF SELF Ho scritto abbastanza per oggi con tutta la calura che mi arriva!
Quindi, senza passare per gli omomorfismi, la classe di [tex]$g \in G$[/tex] è banalmente [tex]$g [e_G]_{\sim} = [ g ]_{\sim}$[/tex] e si vede subito che è la relazione di uguaglianza. Intendevi questo?
Poiché il nucleo di [tex]$\sim$[/tex] è identico allora essa è l'eguaglianza!
Ehm... calma 
La classe di [tex]1[/tex] e' banalmente [tex]\{1\}[/tex]. E il quoziente [tex]G/\{1\}[/tex] e' banalmente isomorfo a [tex]G[/tex]. Considerazioni di questo tipo non aiutano. Il tuo [tex]\pi:G \to G[/tex] e' l'identita', e [tex]G/\sim[/tex] e' ben diverso da [tex]G/\{1\}[/tex]. [tex]G/\sim[/tex] con le notazioni decise indica l'insieme delle classi di coniugio di [tex]G[/tex]. In generale non si puo' parlare di "nucleo" di una relazione. Cosa sarebbe?
---
L'ipotesi e' che [tex]\sim[/tex] sia compatibile (col prodotto, immagino), cioe' l'ipotesi e' questa:
Se [tex]a,b,c,d \in G[/tex] e [tex]a \sim c[/tex], [tex]b \sim d[/tex] allora [tex]ab \sim cd[/tex].
Da qui bisogna dimostrare che [tex]G[/tex] e' abeliano. Dati [tex]a,g \in G[/tex] bisogna dimostrare che [tex]ag=ga[/tex]. L'idea e' scegliere [tex]b=d=a^{-1}[/tex], [tex]c=g^{-1}ag[/tex].
La classe di [tex]1[/tex] e' banalmente [tex]\{1\}[/tex]. E il quoziente [tex]G/\{1\}[/tex] e' banalmente isomorfo a [tex]G[/tex]. Considerazioni di questo tipo non aiutano. Il tuo [tex]\pi:G \to G[/tex] e' l'identita', e [tex]G/\sim[/tex] e' ben diverso da [tex]G/\{1\}[/tex]. [tex]G/\sim[/tex] con le notazioni decise indica l'insieme delle classi di coniugio di [tex]G[/tex]. In generale non si puo' parlare di "nucleo" di una relazione. Cosa sarebbe?
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L'ipotesi e' che [tex]\sim[/tex] sia compatibile (col prodotto, immagino), cioe' l'ipotesi e' questa:
Se [tex]a,b,c,d \in G[/tex] e [tex]a \sim c[/tex], [tex]b \sim d[/tex] allora [tex]ab \sim cd[/tex].
Da qui bisogna dimostrare che [tex]G[/tex] e' abeliano. Dati [tex]a,g \in G[/tex] bisogna dimostrare che [tex]ag=ga[/tex]. L'idea e' scegliere [tex]b=d=a^{-1}[/tex], [tex]c=g^{-1}ag[/tex].
"Martino":
e [tex]G/\sim[/tex] e' ben diverso da [tex]G/\{1\}[/tex]
Aspetta un attimino... Io ho studiato che c'è una biezione tra le relazioni di equivalenza compatibili su [tex]$G$[/tex] e i sottogruppi normali in [tex]$G$[/tex]. Per costruire la biezione pongo [tex]$\phi( \sim_{comp.} ) = [e_G]_{\sim}$[/tex], cioè ad ogni equivalenza compatibile faccio corrispondere la classe dell'elemento neutro nel gruppo quoziente [tex]$G / \sim$[/tex].
Non è vero quindi che [tex]$G / \sim$[/tex] è isomorfo a [tex]$G / [e_G]_{\sim}$[/tex]?
"Martino":
L'ipotesi e' che [tex]\sim[/tex] sia compatibile (col prodotto, immagino), cioe' l'ipotesi e' questa:
Se [tex]a,b,c,d \in G[/tex] e [tex]a \sim c[/tex], [tex]b \sim d[/tex] allora [tex]ab \sim cd[/tex].
Da qui bisogna dimostrare che [tex]G[/tex] e' abeliano. Dati [tex]a,g \in G[/tex] bisogna dimostrare che [tex]ag=ga[/tex]. L'idea e' scegliere [tex]b=d=a^{-1}[/tex], [tex]c=g^{-1}ag[/tex].
Perfetto, è l'imbeccata che mi serviva... Grazie ancora.
"Seneca":Ah ok scusa, non conoscevo questa interpretazione. Con questa teoria alle spalle, sì, puoi concludere immediatamente che G è abeliano dal fatto che la classe di 1 è {1}.
Aspetta un attimino... Io ho studiato che c'è una biezione tra le relazioni di equivalenza compatibili su [tex]$G$[/tex] e i sottogruppi normali in [tex]$G$[/tex]. Per costruire la biezione pongo [tex]$\phi( \sim_{comp.} ) = [e_G]_{\sim}$[/tex], cioè ad ogni equivalenza compatibile faccio corrispondere la classe dell'elemento neutro nel gruppo quoziente [tex]$G / \sim$[/tex].
Grazie della conferma.
Ma, assodato che la classe dell'elemento neutro è il sottogruppo banale [tex]${ e_G }$[/tex], questo cosa mi dice sulla commutatività della legge interna del gruppo [tex]$G$[/tex]? O meglio... Come concludo la tesi?
Ma, assodato che la classe dell'elemento neutro è il sottogruppo banale [tex]${ e_G }$[/tex], questo cosa mi dice sulla commutatività della legge interna del gruppo [tex]$G$[/tex]? O meglio... Come concludo la tesi?
@Seneca Pensavo che il mio precedente suggerimento fosse sufficiente per concludere! 
OUT OF SELF @Martino
OUT OF SELF @Martino
"Martino":Mi riferivo alla classe dell'identità modulo [tex]$\sim$[/tex], mi sà che è una denotazione libertina più che libera.
Ehm... calma
In generale non si puo' parlare di "nucleo" di una relazione. Cosa sarebbe?...
"j18eos":
Prova così: sai che [tex]$\forall g\in G,\,\{g\}=[g]_{\sim}=\{g^h=h^{-1}gh\in G\mid h\in G\}$[/tex] allora... oppure sbaglio?
Scusami j18eos, non capivo all'inizio che c'entrasse la relazione di equivalenza (che io avevo ormai bellamente rimpiazzato con il sottogruppo normale banale).
Credo che mi sfugga qualcosa.
A meno di miei errori (data l'ora in cui ti scrivo) ottieni che: [tex]$\forall g;h\in G,\,h^{-1}gh=g$[/tex] e da qui concludi l'abelianità di [tex]$G$[/tex].
"j18eos":
A meno di miei errori (data l'ora in cui ti scrivo) ottieni che: [tex]$\forall g;h\in G,\,h^{-1}gh=g$[/tex] e da qui concludi l'abelianità di [tex]$G$[/tex].
Probabilmente sono io che non riesco a vedere... Prendi [tex]$g$[/tex] e [tex]$h$[/tex] arbitrari?
Grazie.
Allora ricapitolo, siamo giunti alla conclusione che se [tex]$\sim$[/tex] fosse una congruenza essa sarebbe l'identità di [tex]$G$[/tex], quindi [tex]$\forall g\in G,\,\{g\}=[g]_{\sim}$[/tex] allora [tex]$\forall h\in G,\,\exists k_h\in G\mid g^h=h^{-1}gh=k_h\stackrel{d e f}{\iff}k_h\sim g\Rightarrow g^h=k_h=g$[/tex] e così si conclude che [tex]$G$[/tex] è abeliano. 
A meno di miei errori! 
A meno di miei errori!
Continuo a non vederlo, mi dispiace. In quello che scrivi non riesco a individuare la conclusione:[tex]$\forall x , y \in G , x y = y x$[/tex]...
Essendo giunto (a meno di errori) al punto [tex]$\forall g;h\in G,\,g=g^h=h^{-1}gh\Rightarrow hg=hh^{-1}gh=gh\,\Box$[/tex]
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