Esercizio gruppi infiniti

[Mrhaha]

Salve ragazzi, stavo aiutando un mio amico con questo esercizio:
"Sia $G$ un gruppo infinito­­ e sia $G/H­$­ un sottoinsieme di $G­$­ finito­­ dimostrare che $H=G­­$. "
Allora una cosa è certa: $H$ è infinito. Ma non capisco perchè $G$ sia contenuto in $H$. Cosa dovrei utilizzare?

[perplesso1]

Ciao, perdona la mia ignoranza ma $ G/G = {G} $ che non è un sottoinsieme di $ G $ Mi sembra difficile che un quoziente di G possa essere una parte di G perchè un gruppo e un suo quoziente sono due oggetti abbastanza diversi per costruzione. Sicuramente i miei sono dubbi da profano spero qualcuno possa chiarirmeli

[vict85]

"Mrhaha":Salve ragazzi, stavo aiutando un mio amico con questo esercizio:
"Sia $G$ un gruppo infinito­­ e sia $G/H­$­ un sottoinsieme di $G­$­ finito­­ dimostrare che $H=G­­$. "
Allora una cosa è certa: $H$ è infinito. Ma non capisco perchè $G$ sia contenuto in $H$. Cosa dovrei utilizzare?

Esistono gruppi infiniti con sottogruppi di indice finito quindi non comprendo il tuo problema. Ogni mia interpretazione porta a qualcosa di falso.

[j18eos]

Per come posto il problema è falso l'eneunziato, basta considerare \(\mathbb{Z}\) e un suo sottogruppo non banale!

[Mrhaha]

Ah, quindi è sbagliato l'enunciato? Forse sarà stato un errore del prof!

[j18eos]

Guarda, lo si può modificare in una miriade di modi, tipo sia \(G\) un gruppo infinito privo di sottogruppi infiniti (banale; e.g. \(Z(p^{\infty})\), i \(p\)-mostri di Tarski ed altri che non conosco) oppure \(G\) un gruppo infinito semplice ed \(H\) un suo sottogruppo normale o a indice primo minimale (banali entrambi i casi); esercizi interessanti che non si discostino di molto da quello proposto non ne conosco.

EDIT: Corretta una svista!

[vict85]

L'unico enunciato che per me ha senso è qualcosa del tipo: “dato un gruppo $G$ e un suo sottogruppo $S$ se $G\setminus S$ ($G$ meno $S$ insiemistico) è finito allora $S=G$”. Ma certo non è il quoziente ad essere finito.

[Studente Anonimo]

"vict85":“dato un gruppo $G$ e un suo sottogruppo $S$ se $G\setminus S$ ($G$ meno $S$ insiemistico) è finito allora $S=G$”.

E' sicuramente questo l'enunciato che intendeva il prof!

[Mrhaha]

Ah quindi potrebbe essere un meno insiemistico? Beh lunedi chiederò al prof e vi farò sapere!