Esercizio - Gruppi ($G//Z(G)$)
Esercizio: Sia [tex]$G$[/tex] un gruppo e [tex]$Z(G)$[/tex] il suo centro.
Dimostrare che se [tex]$G / Z(G)$[/tex] è ciclico, allora [tex]$G$[/tex] è abeliano.
Idea:
Considero la solita proiezione canonica sul quoziente [tex]$\phi : G \rightarrow G / Z(G)$[/tex].
Per il secondo teorema di omomorfismo si può asserire che l'insieme dei sottogruppi di [tex]$ G / Z(G)$[/tex] è in biezione con l'insieme dei sottogruppi di [tex]$G$[/tex] contenenti il nucleo di [tex]$\phi$[/tex] (cioè [tex]$Z(G)$[/tex] ).
Devo dimostrare che [tex]$Z(G)$[/tex] è tutto [tex]$G$[/tex] e per farlo mi sembra basti verificare che [tex]$ |G / Z(G)| = 1$[/tex].
Esiste sicuramente un modo più facile, ma a me interessa sapere se il ragionamento fin qui è corretto.
[mod="Martino"]Specificato il titolo.[/mod]
Dimostrare che se [tex]$G / Z(G)$[/tex] è ciclico, allora [tex]$G$[/tex] è abeliano.
Idea:
Considero la solita proiezione canonica sul quoziente [tex]$\phi : G \rightarrow G / Z(G)$[/tex].
Per il secondo teorema di omomorfismo si può asserire che l'insieme dei sottogruppi di [tex]$ G / Z(G)$[/tex] è in biezione con l'insieme dei sottogruppi di [tex]$G$[/tex] contenenti il nucleo di [tex]$\phi$[/tex] (cioè [tex]$Z(G)$[/tex] ).
Devo dimostrare che [tex]$Z(G)$[/tex] è tutto [tex]$G$[/tex] e per farlo mi sembra basti verificare che [tex]$ |G / Z(G)| = 1$[/tex].
Esiste sicuramente un modo più facile, ma a me interessa sapere se il ragionamento fin qui è corretto.
[mod="Martino"]Specificato il titolo.[/mod]
Risposte
Stai dicendo mi sembra cose a caso, seppur vere.
Se [tex]$ G / Z(G)$[/tex] è ciclico allora esisterà un [tex]g[/tex] tale che [tex]gZ(G)[/tex] è un generatore di [tex]$ G / Z(G)$[/tex] e quindi [tex]G / Z(G) = \left\{Z(G), gZ(G), g^2Z(G),\dots g^{n-1}Z(G)\right\}[/tex].
Ora ogni elemento di [tex]G[/tex] può essere espresso come il prodotto di una potenza di [tex]g[/tex] moltiplicato per un elemento di [tex]Z(G)[/tex].
Da qui puoi dimostrare, calcolando esplicitamente, che [tex]\forall a,b\in G,\ ab=ba[/tex]).
Non penso tu ne abbia bisogno comunque nel caso eccoti un hint ulteriore.
Se [tex]$ G / Z(G)$[/tex] è ciclico allora esisterà un [tex]g[/tex] tale che [tex]gZ(G)[/tex] è un generatore di [tex]$ G / Z(G)$[/tex] e quindi [tex]G / Z(G) = \left\{Z(G), gZ(G), g^2Z(G),\dots g^{n-1}Z(G)\right\}[/tex].
Ora ogni elemento di [tex]G[/tex] può essere espresso come il prodotto di una potenza di [tex]g[/tex] moltiplicato per un elemento di [tex]Z(G)[/tex].
Da qui puoi dimostrare, calcolando esplicitamente, che [tex]\forall a,b\in G,\ ab=ba[/tex]).
Non penso tu ne abbia bisogno comunque nel caso eccoti un hint ulteriore.
Ho messo il caso di ciclico finito ma il caso ciclico infinito è identico.
Ma come cose a caso? 
Scusami, ma... Se ho scritto cose vere, provare che si ha [tex]$ |G / Z(G)| = 1$[/tex] è immediato.
Basta prendere [tex]$H \le G / Z(G)$[/tex], un elemento [tex]$(\xi Z)^n \in H$[/tex] e un elemento qualsiasi [tex]$(\xi Z)^m$[/tex] di [tex]$G / Z(G)$[/tex] e dimostrare che [tex]$(\xi Z)^{n} \cdot (\xi Z)^{-m} \in H$[/tex] (usando le proprietà del centro)...
Che ne dici? E' complicato rispetto a quello che consigli tu, ma il mio scopo era sapere se è corretto.
Grazie infinite per l'aiuto e le correzioni.
Scusami, ma... Se ho scritto cose vere, provare che si ha [tex]$ |G / Z(G)| = 1$[/tex] è immediato.
Basta prendere [tex]$H \le G / Z(G)$[/tex], un elemento [tex]$(\xi Z)^n \in H$[/tex] e un elemento qualsiasi [tex]$(\xi Z)^m$[/tex] di [tex]$G / Z(G)$[/tex] e dimostrare che [tex]$(\xi Z)^{n} \cdot (\xi Z)^{-m} \in H$[/tex] (usando le proprietà del centro)...
Che ne dici? E' complicato rispetto a quello che consigli tu, ma il mio scopo era sapere se è corretto.
Grazie infinite per l'aiuto e le correzioni.
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