Esercizio gruppi finiti e coniugio
Ho un problema con un altro esercizio:
Sia $G$ un gruppo e $A,B$ sottogruppi di $G$ tali che $G=AB$. Provare che $\forall x,y\in G$ si ha $G=A^xB^y$.
Volevo usare il fatto che $|A^x|=|A|$ e analogamente $|B^y|=|B|$ però mi servirebbe anche che $|A\capB|=|A^x \cap B^y|$ per concludere sfruttando gli ordini, ma non riesco a venirne a capo.
Sia $G$ un gruppo e $A,B$ sottogruppi di $G$ tali che $G=AB$. Provare che $\forall x,y\in G$ si ha $G=A^xB^y$.
Volevo usare il fatto che $|A^x|=|A|$ e analogamente $|B^y|=|B|$ però mi servirebbe anche che $|A\capB|=|A^x \cap B^y|$ per concludere sfruttando gli ordini, ma non riesco a venirne a capo.
Risposte
Per cominciare osserva che coniugando $A^x B^y$ con $x^{-1}$ ottieni $AB^{yx^{-1}}$, quindi puoi supporre $x=1$.
Ok grazie ora però ho provato a dimostrare che per ogni $g=ab\inG$ e fissato $y=a'b'\inG$ con $a,a'\inA$ e $b,b'\inB$ riesco a scrivere $g=a_1 y^-1b_1y$ dove $a_1\inA,b_1\inB$, e ho provando scrivendo $g=ab$ e provando a "inserire" in modo che si cancelli $y$ sfruttando l'associatività ma non riesco... Ho pensato che mi potesse aiutare il fatto che $A$ e $B$ sono permutabili e quindi ogni elemento di $G$ possa essere scritto anche come prodotto di un elemento di $B$ per uno di $A$...
Ti do un'idea. Scrivi $x=ab$. Allora $A^xB = A^{ab}B = A^bB =b^{-1}AB$.
Grazie mille!! Io mi incasinavo con gli elementi mentre così viene subito! 
Prego osserva che l'ipotesi che $G$ sia finito non ti serve. Ciao
osserva che l'ipotesi che $G$ sia finito non ti serve. Ciao
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