Esercizio funzioni
scusate ho un esercizio sulle funzioni che non riesco a capire
verificare che le due funzioni
$ f(x)= 2x-3$ e $ g(x)= x/3-5 $
sono corrispondenze biunivoche da $RR ->RR$
ora per sapere se sono biunivoche devo verificare che siano iniettive e suriettive.
per definizione di iniettività ho
sia $f:X->Y$ si dice che $f$ è iniettiva se dalla relazione $f(x)=f(x')$ segue $x=x'$.Ciò è equivalente a dire che se $ x != x' $ allora $ f(x) != f(x') $
io se non ho capito male la definizione devo prendere $ (x,x')inRR $ quindi nel mio caso posso anche segliere $x=2$ e $x'=6$
quindi $f(2)=2*2-3=1$ e $f(6)=2*6-3=9$ risulta $x!=x'$ allora $f(x)!=f(x')$ è cosi che lo posso dimostrare?
verificare che le due funzioni
$ f(x)= 2x-3$ e $ g(x)= x/3-5 $
sono corrispondenze biunivoche da $RR ->RR$
ora per sapere se sono biunivoche devo verificare che siano iniettive e suriettive.
per definizione di iniettività ho
sia $f:X->Y$ si dice che $f$ è iniettiva se dalla relazione $f(x)=f(x')$ segue $x=x'$.Ciò è equivalente a dire che se $ x != x' $ allora $ f(x) != f(x') $
io se non ho capito male la definizione devo prendere $ (x,x')inRR $ quindi nel mio caso posso anche segliere $x=2$ e $x'=6$
quindi $f(2)=2*2-3=1$ e $f(6)=2*6-3=9$ risulta $x!=x'$ allora $f(x)!=f(x')$ è cosi che lo posso dimostrare?
Risposte
Come hai giustamente scritto una funzione è iniettiva se da $f(x)=f(y) => x=y$, quindi per la prima funzione devi verificare che $2x-3=2y-3$, $2x=2y$, $x=y$.
Chiaro? Nel caso prova con la seconda funzione
Chiaro? Nel caso prova con la seconda funzione
ora provo ma una cosa non mi torna se il dominio è $RR$ e la funzione è definita $f(x)=2x-3$ il valore $x in RR$ mentre $x'$ non appartiene al dominio ma al codominio?
scusami ma non ho capito il tuo dubbio.E poi $f(x)=f(x^{\prime})$ significa che $x$ e $x^{\prime}$ appartengono al dominio, mentre $f(x)$ e $f(x^{\prime})$ appartengono a $Im(f)$...
grazie mille per le risposte così veloci quindi per provare l'iniettività delle due funzioni
$f(x)=2x-3$
$g(x)=x/3+5$
$f(x)$iniettiva se $2x-3=2x'-3->2x=2x'+3-3->(2x)/2=(2x')/2-> x=x'$
$g(x)$iniettiva se $x/3+5=(x')/3+5->x/3=(x')/3-5+5->x/3=(x')/3->3*x/3=(x')/3*3->x=x'$
spero di aver fatto bene..... mentre per dimostrare la suriettività posso usare sempre la definizione?
$f(x)=2x-3$
$g(x)=x/3+5$
$f(x)$iniettiva se $2x-3=2x'-3->2x=2x'+3-3->(2x)/2=(2x')/2-> x=x'$
$g(x)$iniettiva se $x/3+5=(x')/3+5->x/3=(x')/3-5+5->x/3=(x')/3->3*x/3=(x')/3*3->x=x'$
spero di aver fatto bene..... mentre per dimostrare la suriettività posso usare sempre la definizione?
Si è tutto ok, e si, devi usare la definizione 
io ho provato ad usare la definizione di funzione suriettiva ma non capisco......
se per l'iniettiva la definizione è $AAa,b,f(a)=f(b)->a=b$ mentre per la suriettiva $AAyinY EEx in X : y=f(x)$
io provo ad applicare in questo modo:
$y=2x-3$ io devo trovare la sua controimmagine quindi devo risolvere per $x$?
se per l'iniettiva la definizione è $AAa,b,f(a)=f(b)->a=b$ mentre per la suriettiva $AAyinY EEx in X : y=f(x)$
io provo ad applicare in questo modo:
$y=2x-3$ io devo trovare la sua controimmagine quindi devo risolvere per $x$?
Si, oppure consideri se l'insieme delle immagini $Im(f)$ coincide con il codominio $RR$ (sempre come da definizione).
vediamo se alla fine nel complesso ho capito
Verificare che le due funzioni $f(x)=2x-3$e$g(x)=x/3+5$ sono corrispondenze biunivoche da $RR -> RR$ e calcolare le funzioni inverse
def. iniettiva $AAx,yinX,f(x)=f(y)->x=y$
$f(x)=f(y) hArr 2x-3=2y-3 hArr 2x=2y-3+3 hArr (2x)/2=(2y)/2 hArr x=y$ quindi $f(x)$iniettiva
$g(x)=g(y) hArr x/3+5=y/3+5 hArr x/3=y/3-5+5 hArr 3*(x/3)=(y/3)*3 hArr x=y$ quindi $g(x)$iniettiva
def.suriettiva $AAxinX EE y in Y : f(x)=y$
$f(x)=y hArr 2x-3=y hArr 2x=y+3 hArr (2x)/2=(y+3)/2 hArr x=(y+3)/2$ è suriettiva perchè il valore di $x in RR$ giusto?
$g(x)=y harr x/3+5=y hArr x/3=y-5 hArr 3*(x/3)=(y-5)*3 hArr x=3y-15$ è suriettiva perchè il valore di $x in RR$ giusto?
ora le funzioni inverse $f^(-1)(y)=(y+3)/2$ mentre $g^(-1)(y)=3y-15$ dico che sono così in qunto per verificare se è suriettiva già mi trovo la funzione inversa o sbaglio?
in definitiva è corretto l'esercizio?
Verificare che le due funzioni $f(x)=2x-3$e$g(x)=x/3+5$ sono corrispondenze biunivoche da $RR -> RR$ e calcolare le funzioni inverse
def. iniettiva $AAx,yinX,f(x)=f(y)->x=y$
$f(x)=f(y) hArr 2x-3=2y-3 hArr 2x=2y-3+3 hArr (2x)/2=(2y)/2 hArr x=y$ quindi $f(x)$iniettiva
$g(x)=g(y) hArr x/3+5=y/3+5 hArr x/3=y/3-5+5 hArr 3*(x/3)=(y/3)*3 hArr x=y$ quindi $g(x)$iniettiva
def.suriettiva $AAxinX EE y in Y : f(x)=y$
$f(x)=y hArr 2x-3=y hArr 2x=y+3 hArr (2x)/2=(y+3)/2 hArr x=(y+3)/2$ è suriettiva perchè il valore di $x in RR$ giusto?
$g(x)=y harr x/3+5=y hArr x/3=y-5 hArr 3*(x/3)=(y-5)*3 hArr x=3y-15$ è suriettiva perchè il valore di $x in RR$ giusto?
ora le funzioni inverse $f^(-1)(y)=(y+3)/2$ mentre $g^(-1)(y)=3y-15$ dico che sono così in qunto per verificare se è suriettiva già mi trovo la funzione inversa o sbaglio?
in definitiva è corretto l'esercizio?
Mi sembra tutto corretto.
ho un dubbio su questa funzione $f:NN -> NN$ definita $f(x)=x+1$ verificare se è suriettiva?
allora suriettiva se: $AAy in Y,EEx in X : f(x)=y$ applicando ho $f(x)=y hArr x+1=y hArr x=y-1$ per me non è suriettiva perchè se $y=0 rArr x=-1, x !in NN$
allora suriettiva se: $AAy in Y,EEx in X : f(x)=y$ applicando ho $f(x)=y hArr x+1=y hArr x=y-1$ per me non è suriettiva perchè se $y=0 rArr x=-1, x !in NN$
Esatto.
scusate devo verificare questa funzion $f:NN -> NN$ definita $f(x)=x+1$ se è suriettiva
allora sempre utilizzando la def $AAy in Y, EEx in X : f(x)=y$ quindi $f(x)=y rhArr x+1=y rhArr x=y-1$ ma se $y=0 hArr x!inNN$ quindi $f(x)$ non è suriettiva giusto?
allora sempre utilizzando la def $AAy in Y, EEx in X : f(x)=y$ quindi $f(x)=y rhArr x+1=y rhArr x=y-1$ ma se $y=0 hArr x!inNN$ quindi $f(x)$ non è suriettiva giusto?
scusate la ripetizione firefox ha dato un po di matto!!!!
non so se posso continuare questo post ma dato che riguarda sempre lo stesso argomento ci provo!
Ho questo esercizio e volevo sapere se è corretto.
verificare che la funzione $f:NN -> NN$ definita da $f: n in NN -> x+1 $ se $x$ è pari $f:n in NN -> x-1$ se $x$ è dispari.
È invertibile e suriettiva? determinare la sua inversa.
io ho svolto in questo modo:
per determinare se una funzione è invertibile bisonia verificare che essa è biunivoca quindi
initettiva. def: $AA x,x' in X, f(x)=f(x') rArr x=x'$ o $x != x' rArr f(x) != f(x')$
se $x != x'$ con $x,x'$ dispari $x != x' rArr f(x) != f(x') hArr x+1=x'+1 hArr x != x'$
se $x != x'$ con $x,x'$ pari $x != x' rArr f(x) != f(x') hArr x-1=x'-1 hArr x != x'$
se $x = x'$ con $x,x'$ dispari $f(x) = f(x') hArr x+1 = x'+1 hArr x = x'$
se $x = x'$ con $x,x'$ pari $f(x) = f(x') hArr x-1 = x'-1 hArr x = x'$
suriettiva def:$AA y in Y, EEx in X : f(x)=y$
se $x$ è pari $f(x)=y rArr x-1=y rArr x = y+1$
se $x$ è dispari $f(x)=y rArr x+1=y rArr x = y-1$
quindi sia se $x$ è pari o dispar ei $x in dom(X)$ $f(x)$ è suriettiva
quindi la funzione $f(x)$ è biunivoca quindi invertibile e le funzioni inverse sono
$f^(-1)(y)=y+1, AAy in NN$ $y$ pari.
$f^(-1)(y)=y-1, AAy in NN$ $y$ dispari
secondo voi è corretto?
Ho questo esercizio e volevo sapere se è corretto.
verificare che la funzione $f:NN -> NN$ definita da $f: n in NN -> x+1 $ se $x$ è pari $f:n in NN -> x-1$ se $x$ è dispari.
È invertibile e suriettiva? determinare la sua inversa.
io ho svolto in questo modo:
per determinare se una funzione è invertibile bisonia verificare che essa è biunivoca quindi
initettiva. def: $AA x,x' in X, f(x)=f(x') rArr x=x'$ o $x != x' rArr f(x) != f(x')$
se $x != x'$ con $x,x'$ dispari $x != x' rArr f(x) != f(x') hArr x+1=x'+1 hArr x != x'$
se $x != x'$ con $x,x'$ pari $x != x' rArr f(x) != f(x') hArr x-1=x'-1 hArr x != x'$
se $x = x'$ con $x,x'$ dispari $f(x) = f(x') hArr x+1 = x'+1 hArr x = x'$
se $x = x'$ con $x,x'$ pari $f(x) = f(x') hArr x-1 = x'-1 hArr x = x'$
suriettiva def:$AA y in Y, EEx in X : f(x)=y$
se $x$ è pari $f(x)=y rArr x-1=y rArr x = y+1$
se $x$ è dispari $f(x)=y rArr x+1=y rArr x = y-1$
quindi sia se $x$ è pari o dispar ei $x in dom(X)$ $f(x)$ è suriettiva
quindi la funzione $f(x)$ è biunivoca quindi invertibile e le funzioni inverse sono
$f^(-1)(y)=y+1, AAy in NN$ $y$ pari.
$f^(-1)(y)=y-1, AAy in NN$ $y$ dispari
secondo voi è corretto?
Che vuol dire che $x in dom(X)$?
Occhio alla funzione inversa...
$f^-1 (x)=x-1, AAx in NN$ e $x$ pari
$f^-1 (x)=x+1, AAx in NN$ e $x$ dispari
Occhio alla funzione inversa...
$f^-1 (x)=x-1, AAx in NN$ e $x$ pari
$f^-1 (x)=x+1, AAx in NN$ e $x$ dispari
per $x in dom(x)$ intendo che il valore di $x$ fa parte dei valori contenuti nell'insieme $NN$
perdonami non mettendo in dubbio la tua conoscenza matematica ma il mio libro mi da il risultato di funzione inversa come l'ho scritto io cioè $f^(-1)(y)=x-1 x in NN$ e y dispari. quindi è uno sbaglio del libro secondo te?
perdonami non mettendo in dubbio la tua conoscenza matematica ma il mio libro mi da il risultato di funzione inversa come l'ho scritto io cioè $f^(-1)(y)=x-1 x in NN$ e y dispari. quindi è uno sbaglio del libro secondo te?
No, no ha ragione il libro, ho sbagliato io prima... ho dato per scontato che l'inversa di $f$ per numeri pari "funzionasse" sempre con numeri pari, mentre è proprio il contrario.
Volevo chiederti, ma $dom(x)$ corrisponde all'insieme delle immagini di $f$? Te lo chiedo perché è la prima che vedo questa notazione.
Volevo chiederti, ma $dom(x)$ corrisponde all'insieme delle immagini di $f$? Te lo chiedo perché è la prima che vedo questa notazione.
si il libro di analisi e quello di matematica discreta lo definisce come l'insieme delle immagini mentre ho un dubbio questa funzione è definita sull'insieme $NN$ ma se $x=0$ e per mia conoscenza il valore zero è considerato come pari la funzione da come risultato $x=-1$ quindi mi resta da pensare che in questo esercizio si debba escludere il valore $0$
ma sono esercizi dello Sbordone?!
Vabbe.
Allora
Sia $f(X)= n+1$ n pari, $f(X)=n-1$ se n è dispari. $f : NN -> NN$
Proviamo l'ingettività.
Dobbiamo provare che $AA x,y in NN : f(x)=(y) => x=y$
Se $x,y$ sono entrambi dispari. cioè $x= 2k+1 , y=2z+1$
abbiamo che $f(x)=f(y) = > x-1=y-1 => 2k=2z => k=z$
Se $x,y$ sono entrambi pari ho analogamente che $x=y$.
Se $x$ è pari e $y$ è dispari si ha che
$f(x)=f(y) => n+1=n-1 = > 2k = 2z+1-1 => k=z$.
Dunque f è ingettiva.
per la surgettività va bene. Per l'ingettività potevi ragionare anche come ho fatto io.
Vabbe.
Allora
Sia $f(X)= n+1$ n pari, $f(X)=n-1$ se n è dispari. $f : NN -> NN$
Proviamo l'ingettività.
Dobbiamo provare che $AA x,y in NN : f(x)=(y) => x=y$
Se $x,y$ sono entrambi dispari. cioè $x= 2k+1 , y=2z+1$
abbiamo che $f(x)=f(y) = > x-1=y-1 => 2k=2z => k=z$
Se $x,y$ sono entrambi pari ho analogamente che $x=y$.
Se $x$ è pari e $y$ è dispari si ha che
$f(x)=f(y) => n+1=n-1 = > 2k = 2z+1-1 => k=z$.
Dunque f è ingettiva.
per la surgettività va bene. Per l'ingettività potevi ragionare anche come ho fatto io.
si il libro è quello ma l'esercizio definisce la funzione così $f: NN -> NN$ perchè te l'hai definita $f:RR -> RR$? è un esempio? o il tuo riporta così l'esercizio.
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