Esercizio fattorizzazione polinomio

[giulio013]

Determinare l'insieme T dei primi p tali che il polinomio $f_p = x^3 - x^2 + 2x +1$ appartiene $ Z_p[x]$ ammetta -2 come radice. Per ogni $p$ appartenente a $T$, scrivere $f_p$ come prodotto di polinomi monici irriducibili in $Z_p[x]$.

Salve avrei difficoltà con questo esercizio negli ultimi passaggi:
- Divido il polinomio per (x+2) e trovo che il resto è -15;
- L'insieme dei primi che dividono 15 sono 3 e 5.

Adesso come scrivo il polinomio come prodotto di polinomi monici irriducibile?

[caulacau]

Per esempio fattorizzando $f_2$ ed $f_3$ rispettivamente in \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x]\) e in \(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[x]\)? Sai che in quei due campi ha una radice, e precisamente sai che
\[
f_p(x) =
\begin{cases}
x^2+x & \text{in } \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x]\\
x^2+2 & \text{in } \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[x]\\
\end{cases}
\] nel primo caso, è ovvio come fattorizzarlo in fattori lineari; nel secondo caso, è facile vedere che $1$ è una radice (e in effetti \(x^2+2=(x+1)(x-1)\)), sicché
\[
f_p(x) =
\begin{cases}
x(x+1)(x+2) & \text{in } \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x]\\
(x+1)(x-1)(x+2) & \text{in } \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[x]\\
\end{cases}
\]