Esercizio eq. Pell

[_prime_number]

Ciao!
Avrei questo esercizio che non riesco a fare:
dire perchè le due equazioni di Pell $x^2 - 37y^2 =12$, $x^2 -37y^2 = -21$
hanno infinite soluzioni.

Grazie a chi mi darà una mano (domani ho l'esame!!!)

Paola

[elgiovo]

Con un pò di "brute force" (ma più che altro con un pò d'occhio) si nota che soluzioni per le due equazioni sono $(7,1)$ e $(4,1)$.
Se $(r,s)$ è una soluzione all'equazione di Pell unitaria $x^2-37y^2=1$, le identità

$(7^2-37*1^2)(r^2-37s^2)=(7r pm 37*1*s)^2-37(7s pm 1*r)^2=12$
$(4^2-37*1^2)(r^2-37s^2)=(4r pm 37*1*s)^2-37(4s pm 1*r)^2=-21$

dicono che esistono altre soluzioni, i.e. $(x,y)=(7r pm 37*1*s,7s pm 1*r)$ e $(x,y)=(4r pm 37*1*s,4s pm 1*r)$,
da trovare incrementando i valori di $r$ e di $s$.

Dunque concentriamoci sull'equazione di Pell unitaria: questa può essere risolta trovando la frazione continua di $sqrt37$,
e la soluzione è fornita dal convergente $p/q$ che soddisfa l'equazione $p^2-37q^2=(-1)^(n+1)$. La soluzione è $(p,q)$.
L'esistenza di tale convergente è garantita dal fatto che $37$ è uno "squarefree", dunque la frazione continua di $sqrt37$
diviene periodica da un certo punto in poi.

Le altre soluzioni si trovano poi al variare di $n$ nella seguente coppia:

$(x,y)=(((p+qsqrt37)^n+(p+qsqrt37)^n)/2,((p+qsqrt37)^n+(p-qsqrt37)^n)/(2sqrt37))$