[Esercizio] divisione euclidea polinomi

[gundamrx91-votailprof]

Calcolare il [tex]MCD(f,g)[/tex] con [tex]f(x)=x^5 +\bar{1}[/tex] e [tex]g(x)=\bar{3}x^3 + \bar{2}[/tex] con [tex]f(x),g(x) \in \mathbb{Z}_5[x][/tex].

[tex]f(x)=g(x) \cdot (\bar{2}x^2) + (x^2+ \bar{1})[/tex]; ([tex]r_1(x)=f(x) \cdot 1 - g(x)(\bar{2}x^2)[/tex])

[tex]g(x)=r_1(x)(\bar{3}x) + (\bar{2}x + \bar{2})[/tex]; ([tex]r_2(x)=g(x)\cdot 1 - r_1(x)(\bar{3}x)[/tex])

[tex]r_1(x)=r_2(x)(\bar{3}x) + (\bar{4}x + \bar{1})[/tex]; ([tex]r_3(x)=r_1(x)\cdot 1 - r_2(x)(\bar{3}x)[/tex])

[tex]r_2(x)=r_3(x)(\bar{3}) + (\bar{4})[/tex]; ([tex]r_4(x)=r_2(x)\cdot 1 - r_3(x)(\bar{3})[/tex])

Dato che [tex]\bar{4} \in \mathbb{Z}_5[/tex] è invertibile allora [tex]MCD(f,g)=1[/tex].

E' corretto?

PS. in teoria c'è un errore, ma non capisco dove

[Gi81]

L'errore lo commetti quando scrivi $r_1(x) = r_2(x) *(3x) +(4x+1)$ (con $r_2(x) = 2x+2$)

Il resto ha lo stesso grado del polinomio divisore.

Avresti dovuto scrivere piuttosto $r_1(x) = r_2(x) *(3x+2) -3$

[gundamrx91-votailprof]

Che tonto!!!!!! Eccolo l'errore. Grazie Gi8, ora correggo.

[gundamrx91-votailprof]

[tex]f(x)=g(x) \cdot (\bar{2}x^2) + (x^2+ \bar{1})[/tex]; ([tex]r_1(x)=f(x) \cdot 1 - g(x)(\bar{2}x^2)[/tex])

[tex]g(x)=r_1(x)(\bar{3}x) + (\bar{2}x + \bar{2})[/tex]; ([tex]r_2(x)=g(x)\cdot 1 - r_1(x)(\bar{3}x)[/tex])

[tex]r_1(x)=r_2(x)(\bar{3}x + \bar{2}) + (\bar{2})[/tex]; ([tex]r_3(x)=r_1(x)\cdot 1 - r_2(x)(\bar{3}x + \bar{2})[/tex])

Dato che [tex]\bar{2} \in \mathbb{Z}_5[/tex] è invertibile allora [tex]MCD(f,g)=1[/tex].

[Gi81]

Sì, direi che va bene

[gundamrx91-votailprof]

Grazie