[Esercizio] divisibilità
In un qualsiasi dominio di integrità [tex]D[/tex] sia [tex]E[/tex] la relazione binaria tale che si abbia [tex]aEb \Leftrightarrow a|b \land b|a[/tex] ([tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] sono associati in [tex]D[/tex]) e sia [tex]p: D \rightarrow D/E[/tex] la proiezione di [tex]D[/tex] sul corrispondente insieme quoziente [tex]D/E[/tex]:
a) dimostrare che [tex]pa \le pb \Leftrightarrow a|b; a,b \in D[/tex] definisce una relazione binaria su [tex]D/E[/tex] che risulta essere un ordine parziale in [tex]D/E[/tex].
b) Dimostrare che esiste un'unica operazione binaria di moltiplicazione in [tex]D/E[/tex] che renda [tex]p[/tex] un morfismo di monoidi moltiplicativi.
Intanto cerco di fare chiarezza con che cosa devo ragionare
[tex]D[/tex] è un dominio di integrità, cioè un anello commutativo unitario in cui [tex]\forall a,b \in D[/tex] si ha [tex]a \cdot b = b \cdot a[/tex] e [tex]a \cdot b = 0 \Rightarrow a=0 \lor b=0[/tex]. Inoltre ogni campo è un dominio di integrità.
Due elementi [tex]a,b \in D[/tex] sono associati se e solo se [tex]a | b \land b | a \Rightarrow b=ca \land a=db; c,d \in D \Rightarrow c \cdot d=1[/tex].
La proiezione canonica [tex]p : D \rightarrow D/E[/tex] è definita da [tex]x \mapsto [x][/tex] con [tex][x]:= \{a \in D | a|x \land x|a\}[/tex].
Per quanto riguarda la parte a) dell'esercizio devo verificare che sia una relazione d'ordine, e sappiamo che la relazione di divisibilità è una relazione d'ordine; quello che mi "turba" però è che la definisca sull'insieme quoziente nonostante il "[tex]a|b \in D[/tex]" cioè che usi dei semplici elementi di [tex]D[/tex] piuttosto che delle classi di equivalenza di [tex]D/E[/tex]....
a) dimostrare che [tex]pa \le pb \Leftrightarrow a|b; a,b \in D[/tex] definisce una relazione binaria su [tex]D/E[/tex] che risulta essere un ordine parziale in [tex]D/E[/tex].
b) Dimostrare che esiste un'unica operazione binaria di moltiplicazione in [tex]D/E[/tex] che renda [tex]p[/tex] un morfismo di monoidi moltiplicativi.
Intanto cerco di fare chiarezza con che cosa devo ragionare
[tex]D[/tex] è un dominio di integrità, cioè un anello commutativo unitario in cui [tex]\forall a,b \in D[/tex] si ha [tex]a \cdot b = b \cdot a[/tex] e [tex]a \cdot b = 0 \Rightarrow a=0 \lor b=0[/tex]. Inoltre ogni campo è un dominio di integrità.
Due elementi [tex]a,b \in D[/tex] sono associati se e solo se [tex]a | b \land b | a \Rightarrow b=ca \land a=db; c,d \in D \Rightarrow c \cdot d=1[/tex].
La proiezione canonica [tex]p : D \rightarrow D/E[/tex] è definita da [tex]x \mapsto [x][/tex] con [tex][x]:= \{a \in D | a|x \land x|a\}[/tex].
Per quanto riguarda la parte a) dell'esercizio devo verificare che sia una relazione d'ordine, e sappiamo che la relazione di divisibilità è una relazione d'ordine; quello che mi "turba" però è che la definisca sull'insieme quoziente nonostante il "[tex]a|b \in D[/tex]" cioè che usi dei semplici elementi di [tex]D[/tex] piuttosto che delle classi di equivalenza di [tex]D/E[/tex]....
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