Esercizio di logica
Sto iniziando a ripetere gli argomenti vecchi, ho deciso che da oggi in poi in matematica studierò, oltre che l'argomento del giorno, almeno un argomento vecchio. Per potermeli rinfrescare.
Andando oltre questo breve preambolo oggi stavo facendo un pò di esercizi di logica e volevo sapere se questo metodo di risoluzione era giusto e se magari esistesse qualche procedimento più pratico.
L'esercizio dice:
$p -> q$ è falsa, allora qual'è il valore di verità di $sim p ^^^ q harr p vv q$
Il mio procedimento di risoluzione è il seguente:
$p -> q$ è falsa significa $p$ vera e $q$ falsa
ora per vedere il valore di questa: $sim p ^^^ q harr p vv q$ dobbiamo scomporla in una dobbia implicazione
quindi $sim p$ falsa $^^^ q$ falsa $-> p$ vera $vv q$ falsa
ovvero falso $->$ vero è vero
Al contrario abbiamo che vero $->$ falso ed è falso.
In conclusione possiamo dire che: $sim p ^^^ q harr p vv q$ è quindi falsa.
Ho detto bene? si potrebbe svolgere meglio?
[mod="Paolo90"]Corretto il titolo. "Esercuzio" era una variante decisamente bruttina. [/mod]
Andando oltre questo breve preambolo oggi stavo facendo un pò di esercizi di logica e volevo sapere se questo metodo di risoluzione era giusto e se magari esistesse qualche procedimento più pratico.
L'esercizio dice:
$p -> q$ è falsa, allora qual'è il valore di verità di $sim p ^^^ q harr p vv q$
Il mio procedimento di risoluzione è il seguente:
$p -> q$ è falsa significa $p$ vera e $q$ falsa
ora per vedere il valore di questa: $sim p ^^^ q harr p vv q$ dobbiamo scomporla in una dobbia implicazione
quindi $sim p$ falsa $^^^ q$ falsa $-> p$ vera $vv q$ falsa
ovvero falso $->$ vero è vero
Al contrario abbiamo che vero $->$ falso ed è falso.
In conclusione possiamo dire che: $sim p ^^^ q harr p vv q$ è quindi falsa.
Ho detto bene? si potrebbe svolgere meglio?
[mod="Paolo90"]Corretto il titolo. "Esercuzio" era una variante decisamente bruttina. [/mod]
Risposte
Ne approfitto anche per chiedere se per caso qualcuno conosce qualche sito di esercizi svolti di logica, o comunque con soluzione annessa.
Perchè quelli che ho io sono tutti senza risposta, e non so cosi se sto scrivendo cavolate ^^
Perchè quelli che ho io sono tutti senza risposta, e non so cosi se sto scrivendo cavolate ^^
"WiZaRd":
Con calma.
La formula [tex]\displaystyle\exists x=1 \in \mathbb{Z}, \forall y \in \mathbb{Z} \text{ t.c. } y=\frac{1}{2x} \notin \mathbb{Z}[/tex] è formalmente sbagliata, anzi non è una formula: ponendo [tex]x=1[/tex] non hai più possibilità di quantificare la variabile [tex]x[/tex]; in secondo luogo non puoi porre [tex]\displaystyle\forall y \in \mathbb{Z} \text{ t.c. } y=\frac{1}{2x} \notin \mathbb{Z}[/tex] perché questa stringa equivale a [tex]\displaystyle \forall y, y \in \mathbb{Z} \implies (y=\frac{1}{2x}\implies y\notin\mathbb{Z})[/tex] che non ha senso, primo perché hai posto [tex]x=1[/tex], secondo perché se [tex]y \in \mathbb{Z}[/tex] non puoi porre né [tex]\displaystyle y=\frac{1}{2x}[/tex] né [tex]y \notin \mathbb{Z}[/tex], in altre parole stai scrivendo una formula che è una contraddizione che, dovendo essere la negazione della formula iniziale, non puoi ottenere.
La negazione di [tex]\forall x \in \mathbb{Z}, \exists y \in \mathbb{Z} \text{ t.c. } 2xy=1[/tex] che equivale a [tex]\forall x, x \in \mathbb{Z} \implies \exists y : y \in \mathbb{Z} \land 2xy=1[/tex] è [tex]\exists x : x \in \mathbb{Z} \land \forall y, y \notin \mathbb{Z} \lor 2xy\neq1[/tex] che ancora equivale [tex]\exists x : x \in \mathbb{Z} \land \forall y, y \in \mathbb{Z} \implies 2xy\neq1[/tex], cioè [tex]\exists x \in \mathbb{Z} : \forall y \in \mathbb{Z}, 2xy\neq1[/tex]
Io praticamente volevo scrivere che, con $x in ZZ$, se $y=1/(2x)$, allora $y notin ZZ$.
Quindi, dopo essermi fatto tutti i calcoli posso dire che $AAx in ZZ, EE y in ZZ$ t.c $2xy = 1$ è falsa, perchè l'affermazione vera è la seguente:
$EE x in ZZ, AA y in ZZ$ t.c $2xy != 1$
Che poi è anche la negazione della proposizione iniziale. O no?
Come al solito mi perdo nel formalizzare la cosa.
OK.
Rieccomi, ho fatto un'altro esercizio di logica, questo dice:
$AAy in NN, EE x in ZZ$ t.c $3x+2y <= 7$
Allora mi ricavo la x in funzione della y e trovo che:
$x <= (7-2y)/3$
Ora se prendo $y=1$ che è il più piccolo numero naturale ottengo $5/3 = 1,6..$ ed esiste sicuramente un numero intero più piccolo, anzi ne esiste più di uno.
Il punto è, come formalizzare questa cosa? come lo dimostro tramite formula?
Volevo scrivere quaclosa del tipo $EE x = ((7-2y)/3)-1$ ma ne uscirebbe che $x$ è uguale ad una frazione, e non sarebbe più in $ZZ$.
In pratica devo scrivere che: Esisterà sempre un Intero che sarà più piccolo di una determinata frazione. Ma non so come.
$AAy in NN, EE x in ZZ$ t.c $3x+2y <= 7$
Allora mi ricavo la x in funzione della y e trovo che:
$x <= (7-2y)/3$
Ora se prendo $y=1$ che è il più piccolo numero naturale ottengo $5/3 = 1,6..$ ed esiste sicuramente un numero intero più piccolo, anzi ne esiste più di uno.
Il punto è, come formalizzare questa cosa? come lo dimostro tramite formula?
Volevo scrivere quaclosa del tipo $EE x = ((7-2y)/3)-1$ ma ne uscirebbe che $x$ è uguale ad una frazione, e non sarebbe più in $ZZ$.
In pratica devo scrivere che: Esisterà sempre un Intero che sarà più piccolo di una determinata frazione. Ma non so come.
Scusate se ritiro su questo thread, volevo sapere ma una proposizione del tipo:
$AA x in ZZ -{0,1}$ $,x^2>1$
posso dire che è falsa perchè per $x=-1$ avrei $-1 in ZZ$ t.c $-1^2>1$ che è una proposizione falsa?
Oppure potrei scrivere, dirrettamente a parole:
falza perchè $EE x in ZZ -{0,1}$ $,x^2<=1$ ad esempio per $x=-1$ ?
Sto cercando di trovare la maniera che mi viene più spontanea di scrivere.
$AA x in ZZ -{0,1}$ $,x^2>1$
posso dire che è falsa perchè per $x=-1$ avrei $-1 in ZZ$ t.c $-1^2>1$ che è una proposizione falsa?
Oppure potrei scrivere, dirrettamente a parole:
falza perchè $EE x in ZZ -{0,1}$ $,x^2<=1$ ad esempio per $x=-1$ ?
Sto cercando di trovare la maniera che mi viene più spontanea di scrivere.
"Neptune":
Rieccomi, ho fatto un'altro esercizio di logica, questo dice:
$AAy in NN, EE x in ZZ$ t.c $3x+2y <= 7$
Allora mi ricavo la x in funzione della y e trovo che:
$x <= (7-2y)/3$
Ora se prendo $y=1$ che è il più piccolo numero naturale ottengo $5/3 = 1,6..$ ed esiste sicuramente un numero intero più piccolo, anzi ne esiste più di uno.
Il punto è, come formalizzare questa cosa? come lo dimostro tramite formula?
Volevo scrivere quaclosa del tipo $EE x = ((7-2y)/3)-1$ ma ne uscirebbe che $x$ è uguale ad una frazione, e non sarebbe più in $ZZ$.
In pratica devo scrivere che: Esisterà sempre un Intero che sarà più piccolo di una determinata frazione. Ma non so come.
Vuoi provare che l'enunciato [tex]\forall y \in \mathbb{N}, \exists x \in \mathbb{Z} : 3x+2y\leqslant7[/tex]: come giustamente dici, basta risolvere la disequazione [tex]3x+2y\leqslant7[/tex] per ottenere [tex]\displaystyle x\leqslant\frac{7-2y}{3}[/tex] al basta prendere un intero minore di quel RHS per soddisfare l'enunciato. Scrivere questo basterebbe già.
Se proprio ci tieni puoi scrivere [tex]\forall y \in \mathbb{N}, \exists x \in \mathbb{Z}: x \leqslant\frac{7-2y}{3}[/tex].
"Neptune":
Scusate se ritiro su questo thread, volevo sapere ma una proposizione del tipo:
$AA x in ZZ -{0,1}$ $,x^2>1$
posso dire che è falsa perchè per $x=-1$ avrei $-1 in ZZ$ t.c $-1^2>1$ che è una proposizione falsa?
Oppure potrei scrivere, dirrettamente a parole:
falza perchè $EE x in ZZ -{0,1}$ $,x^2<=1$ ad esempio per $x=-1$ ?
Sto cercando di trovare la maniera che mi viene più spontanea di scrivere.
Veramente quell'enunciato è falso per un altro motivo: va elevata al quadrato tutta la [tex]x[/tex], sicché anche se [tex]x= -1[/tex] si ha [tex]x^{2}=(-1)^{2}=1[/tex]. È falsa perché preso appunto [tex]x=-1[/tex] si ha [tex]1<1[/tex] (e non [tex]-1^{2}(= -1)<1[/tex]) che è falsa.
A questo punto quanto sopra basta già: se proprio ci tieni puoi scrivere, come già hai fatto, [tex]\exists x \in \mathbb{Z}\setminus\{0,1\}:x^{2}\leqslant 1[/tex], ma d'altro canto dir che i numeri interi diversi dallo [tex]0[/tex] e dall'unità sono tali per cui il loro quadrato è minore dell'unità stessa è ovviamente falso, sicché oltre alla precedente formula (che è la negazione della formula iniziale che presenta il quantificatore universale) potresti dire anche che è vero che [tex]\forall x \in \mathbb{Z}\setminus\{0,1\}, x^{2}\geqslant1[/tex].
Grazie mille per la pazienza. Il punto è "dimostrare" che la mia negazione è vera. Per questo dico "ad esempio $x=-1$ che me la rende falsa".
Perchè la traccia tipo è "dimmi se questa affermazione è vera", tu ti fai tutti i calcoli e trovi almeno un caso che te la rende falsa, poi però in qualche modo "lo devi dire". Non posso dire semplicemente "no è falsa" e farne la negazione. Non so se riesco a spiegare cosa intendo dire.
Perchè la traccia tipo è "dimmi se questa affermazione è vera", tu ti fai tutti i calcoli e trovi almeno un caso che te la rende falsa, poi però in qualche modo "lo devi dire". Non posso dire semplicemente "no è falsa" e farne la negazione. Non so se riesco a spiegare cosa intendo dire.
Hai degli esrcizi che ti chiedono di stabilire se certe fbf sono vere o false. Se la fbf è vera, va tutto bene. Concordemente col tuo dubbio, se la fbf è falsa... non occorre affatto "provare" che la sua negazione è vera.
Ti ricordo che la logica con cui lavori è bivalente (un enunciato o è vero o è falso) e che la negazione di [tex]p[/tex] è vera sse [tex]p[/tex] è falsa ed è falsa sse [tex]p[/tex] è vera, dunque, assodato che la fbf è falsa, la sua negazione è per forza vera.
Ti ricordo che la logica con cui lavori è bivalente (un enunciato o è vero o è falso) e che la negazione di [tex]p[/tex] è vera sse [tex]p[/tex] è falsa ed è falsa sse [tex]p[/tex] è vera, dunque, assodato che la fbf è falsa, la sua negazione è per forza vera.
"WiZaRd":
Hai degli esrcizi che ti chiedono di stabilire se certe fbf sono vere o false. Se la fbf è vera, va tutto bene. Concordemente col tuo dubbio, se la fbf è falsa... non occorre affatto "provare" che la sua negazione è vera.
Ti ricordo che la logica con cui lavori è bivalente (un enunciato o è vero o è falso) e che la negazione di [tex]p[/tex] è vera sse [tex]p[/tex] è falsa ed è falsa sse [tex]p[/tex] è vera, dunque, assodato che la fbf è falsa, la sua negazione è per forza vera.
Ma io assodo che è falsa accorgendomi che c'è almeno un caso che la rende falsa, e quindi dico che la negazione sarà verà "perchè esiste quel caso". Devo pur scriverglielo quel caso in qualce modo no?
Certo ed occorre e basta che tu glielo dica a parole.
Se sviluppi una teoria ed hai una fbf della quale vuoi stabile il valore di verità, se ti accorgi che essa è falsa e lo dici e vuoi mostrare perché essa è falsa, lo puoi benissimo dire a parole, non occorre che tu trovi un'altra fbf per dire questo, dal momento che per discutere di una teoria e delle sue fbf ci si deve porre in una teoria al di sopra di questa teoria (metateoria) e se proprio si vuole usare una fbf anche qui, occorrerebbe allora chiarire il linguaggio della teoria, le regole di formazione delle fbf, le regole di deduzione ecc.
Di nuovo mi sento di consigliarti di non calcare troppo la mano con le fbf. A meno che tu non stia studiando per preparare un esame di Logica (a proposito, posso chiedere per quale esame stai studiando), cerca di vedere quelle notazioni come stenografie per sostituire frasi di uso frequente alle quali attribuire, ovviamente, "usi e costumi" dettati dal formalismo logico. Altrimenti va a finire che, per esempio, se ti trovi a dovere dimostrare una certa cosa sugli insiemi e vuoi a forza andare avanti a colpi di fbf, allora devi studiarti la teoria della quantificazione per vedere come distribuire i quantificatori, devi vedere quando le variabili sono libere o vincolate, devi vedere quali regole di inferenza hai a disposizione ecc. Poi se stai studiando Logica per un esame di Logica allora il discorso cambia.
P.S.
Ovviamente questi sono solo consigli da parte di uno studente ad un altro studente, quindi come tali vanno presi.
Se sviluppi una teoria ed hai una fbf della quale vuoi stabile il valore di verità, se ti accorgi che essa è falsa e lo dici e vuoi mostrare perché essa è falsa, lo puoi benissimo dire a parole, non occorre che tu trovi un'altra fbf per dire questo, dal momento che per discutere di una teoria e delle sue fbf ci si deve porre in una teoria al di sopra di questa teoria (metateoria) e se proprio si vuole usare una fbf anche qui, occorrerebbe allora chiarire il linguaggio della teoria, le regole di formazione delle fbf, le regole di deduzione ecc.
Di nuovo mi sento di consigliarti di non calcare troppo la mano con le fbf. A meno che tu non stia studiando per preparare un esame di Logica (a proposito, posso chiedere per quale esame stai studiando), cerca di vedere quelle notazioni come stenografie per sostituire frasi di uso frequente alle quali attribuire, ovviamente, "usi e costumi" dettati dal formalismo logico. Altrimenti va a finire che, per esempio, se ti trovi a dovere dimostrare una certa cosa sugli insiemi e vuoi a forza andare avanti a colpi di fbf, allora devi studiarti la teoria della quantificazione per vedere come distribuire i quantificatori, devi vedere quando le variabili sono libere o vincolate, devi vedere quali regole di inferenza hai a disposizione ecc. Poi se stai studiando Logica per un esame di Logica allora il discorso cambia.
P.S.
Ovviamente questi sono solo consigli da parte di uno studente ad un altro studente, quindi come tali vanno presi.
No il mio è un esame di Matematica Discreta, quindi dici che mi limito a scriverlo a parole e basta.
E' che in tutto il programma mi perdo spesso e volentieri proprio nelle dimostrazioni. Finisce sempre che: Non riesci a fattorizzare la formula in modo da "dimostrare la tua teoria" o che mi perdo nello scrivere la teoria in manier corretta.
E' che in tutto il programma mi perdo spesso e volentieri proprio nelle dimostrazioni. Finisce sempre che: Non riesci a fattorizzare la formula in modo da "dimostrare la tua teoria" o che mi perdo nello scrivere la teoria in manier corretta.
Un esame di matematica discreta in cui avete fatto un modulo di logica formale?
Una dimostrazione non deve necessariamente essere una seuqenza di fbf.
Una dimostrazione non deve necessariamente essere una seuqenza di fbf.
Non so cosa intendi per modulo di logica formale. Abbiamo dedicato alcune lezioni alla logica, ai vari significati dei simboli eccetera, ma non credo che sia ciò che ti riferisci tu.
Ad ogni modo mi sto trovando un pò "perso" in matematica discreta, ci si limita a "piazzare alla lavagna qualche esercizio" ma non si è mai affrontato per l'appunto i metodi di risoluzione.
In ogni esercizio che non riesco a svolgere e chiedo qui mi consigliate l'utilizzo di equazioni, disequazioni, e via discorrendo, ma sono tutte cose che a me non sarebbero mai e dico mai venute in mente.
Ad ogni modo mi sto trovando un pò "perso" in matematica discreta, ci si limita a "piazzare alla lavagna qualche esercizio" ma non si è mai affrontato per l'appunto i metodi di risoluzione.
In ogni esercizio che non riesco a svolgere e chiedo qui mi consigliate l'utilizzo di equazioni, disequazioni, e via discorrendo, ma sono tutte cose che a me non sarebbero mai e dico mai venute in mente.
E allora continua ad esercitarti e con un pò di lavoro prenderai la mano con questi esercizi.
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