Esercizio di logica
Sto iniziando a ripetere gli argomenti vecchi, ho deciso che da oggi in poi in matematica studierò, oltre che l'argomento del giorno, almeno un argomento vecchio. Per potermeli rinfrescare.
Andando oltre questo breve preambolo oggi stavo facendo un pò di esercizi di logica e volevo sapere se questo metodo di risoluzione era giusto e se magari esistesse qualche procedimento più pratico.
L'esercizio dice:
$p -> q$ è falsa, allora qual'è il valore di verità di $sim p ^^^ q harr p vv q$
Il mio procedimento di risoluzione è il seguente:
$p -> q$ è falsa significa $p$ vera e $q$ falsa
ora per vedere il valore di questa: $sim p ^^^ q harr p vv q$ dobbiamo scomporla in una dobbia implicazione
quindi $sim p$ falsa $^^^ q$ falsa $-> p$ vera $vv q$ falsa
ovvero falso $->$ vero è vero
Al contrario abbiamo che vero $->$ falso ed è falso.
In conclusione possiamo dire che: $sim p ^^^ q harr p vv q$ è quindi falsa.
Ho detto bene? si potrebbe svolgere meglio?
[mod="Paolo90"]Corretto il titolo. "Esercuzio" era una variante decisamente bruttina. [/mod]
Andando oltre questo breve preambolo oggi stavo facendo un pò di esercizi di logica e volevo sapere se questo metodo di risoluzione era giusto e se magari esistesse qualche procedimento più pratico.
L'esercizio dice:
$p -> q$ è falsa, allora qual'è il valore di verità di $sim p ^^^ q harr p vv q$
Il mio procedimento di risoluzione è il seguente:
$p -> q$ è falsa significa $p$ vera e $q$ falsa
ora per vedere il valore di questa: $sim p ^^^ q harr p vv q$ dobbiamo scomporla in una dobbia implicazione
quindi $sim p$ falsa $^^^ q$ falsa $-> p$ vera $vv q$ falsa
ovvero falso $->$ vero è vero
Al contrario abbiamo che vero $->$ falso ed è falso.
In conclusione possiamo dire che: $sim p ^^^ q harr p vv q$ è quindi falsa.
Ho detto bene? si potrebbe svolgere meglio?
[mod="Paolo90"]Corretto il titolo. "Esercuzio" era una variante decisamente bruttina. [/mod]
Risposte
OK. Solo, se vuoi, puoi evitare di spezzare la coimplicazione con una doppia implicazione: basta usare la tavola di verità di [tex]\iff[/tex]
"WiZaRd":
OK. Solo, se vuoi, puoi evitare di spezzare la coimplicazione con una doppia implicazione: basta usare la tavola di verità di [tex]\iff[/tex]
Cioè se sono entrambi veri allora la doppia implicazione è vera; Se sono entrambi falsi lo è ancora; Nel nostro caso che uno è vero e l'altro è falso allora l'implicazione è falsa?
No perchè sono abituato a spezzarla in due (la professoressa fa sempre così) e allora non la ricordo bene.
Sì, esatto.
Ecco un'altro esercizio di logica, devo verificare se è vera o falsa la seguente formula:
$AA x in RR^+ EEy in RR t.c sqrt(y^2+1)=2x$
Ovvero questa la leggo dicendo che, qualsiasi valore io do alla X devo trovare almeno una y che mi soddisfi quella formula. Ovviamente il tutto nei rispettivi domini.
Dunque se "per ogni x esiste una y" mi conviene calcolarmi y in funzione di x, no?
Ovvero posso dire che:
$y^2+1 = (2x)^2$
ovvero $y^2 = (2x)^2 -1$
ovvero $y = 2x - sqrt(1)$ **
quindi $y = 2x -1$
A questo punto devo dire che per ogni valore che do ad x, esiste almeno una y tale che quella formla sia vera?
Direi di contando che qualsiasi valore reale positivo do alla x avrò comunque in corrispondenza un valore reale. O no?
Sono giusto un pò perplesso su come ho scomposto la radice quadrata, nel passaggio contrassegnato con **.
Ovvero devo a forza mettere anche il meno sotto radice? perchè a quel punto non saprei "trattarla" la radice di $-1$. Temo però che quel passaggio non si possa fare (però guardando le varie proprietà notevoli dei radicali non sono riuscito a trovare nulla che mi viene incontro).
$AA x in RR^+ EEy in RR t.c sqrt(y^2+1)=2x$
Ovvero questa la leggo dicendo che, qualsiasi valore io do alla X devo trovare almeno una y che mi soddisfi quella formula. Ovviamente il tutto nei rispettivi domini.
Dunque se "per ogni x esiste una y" mi conviene calcolarmi y in funzione di x, no?
Ovvero posso dire che:
$y^2+1 = (2x)^2$
ovvero $y^2 = (2x)^2 -1$
ovvero $y = 2x - sqrt(1)$ **
quindi $y = 2x -1$
A questo punto devo dire che per ogni valore che do ad x, esiste almeno una y tale che quella formla sia vera?
Direi di contando che qualsiasi valore reale positivo do alla x avrò comunque in corrispondenza un valore reale. O no?
Sono giusto un pò perplesso su come ho scomposto la radice quadrata, nel passaggio contrassegnato con **.
Ovvero devo a forza mettere anche il meno sotto radice? perchè a quel punto non saprei "trattarla" la radice di $-1$. Temo però che quel passaggio non si possa fare (però guardando le varie proprietà notevoli dei radicali non sono riuscito a trovare nulla che mi viene incontro).
"Neptune":
Sono giusto un pò perplesso su come ho scomposto la radice quadrata, nel passaggio contrassegnato con **.
Ovvero devo a forza mettere anche il meno sotto radice? perchè a quel punto non saprei "trattarla" la radice di $-1$. Temo però che quel passaggio non si possa fare (però guardando le varie proprietà notevoli dei radicali non sono riuscito a trovare nulla che mi viene incontro).
Temi bene.
Fai attenzione! $sqrt(a+b)$ NON è $sqrta+sqrtb$. Per convincertene puoi pensare a $sqrt(9+16)=5 ne sqrt(9)+sqrt(16)=7$...
Alla luce di questa fondamentale correzione prova a rivedere il finale... e facci sapere.
"Neptune":
Ecco un'altro esercizio di logica, devo verificare se è vera o falsa la seguente formula:
$AA x in RR^+ EEy in RR t.c sqrt(y^2+1)=2x$
Ovvero questa la leggo dicendo che, qualsiasi valore io do alla X devo trovare almeno una y che mi soddisfi quella formula. Ovviamente il tutto nei rispettivi domini.
Dunque se "per ogni x esiste una y" mi conviene calcolarmi y in funzione di x, no?
Ovvero posso dire che:
$y^2+1 = (2x)^2$
ovvero $y^2 = (2x)^2 -1$
ovvero $y = 2x - sqrt(1)$ **
quindi $y = 2x -1$
A questo punto devo dire che per ogni valore che do ad x, esiste almeno una y tale che quella formla sia vera?
Direi di contando che qualsiasi valore reale positivo do alla x avrò comunque in corrispondenza un valore reale. O no?
Sono giusto un pò perplesso su come ho scomposto la radice quadrata, nel passaggio contrassegnato con **.
Ovvero devo a forza mettere anche il meno sotto radice? perchè a quel punto non saprei "trattarla" la radice di $-1$. Temo però che quel passaggio non si possa fare (però guardando le varie proprietà notevoli dei radicali non sono riuscito a trovare nulla che mi viene incontro).
Difatti quella operazione sulla radice non si può fare, è di pura fantasia ^^
Questo è il procedimento che invece credo sia giusto, ovvero:
$sqrt(y^2+1)= 2x$
$y^2+1 = (2x)^2$
$y^2 = (2x)^2-1$
$y^2=4x^2-1$
Quest'ultima affermazione si può dire che non è sempre vera prendendo ad esempio:
$x=1 in RR^+$ allora ho che $y^2 = 3$ e credo che non esiste un quadrato perfetto che mi dia come risultato 3. O sbaglio?
Perchè io nella traccia iniziale ho che "per Ogni X Esiste Y" ovvero qualsiasi valore do ad X devo SEMPRE trovare una Y.
Ho dato $x=1$ e mi sono accorto che non riesco a trovare una Y, quindi è falsa, no? O magari e a me che sfugge come calcolarmela quella y?
Ho dato $x=1$ e mi sono accorto che non riesco a trovare una Y, quindi è falsa, no? O magari e a me che sfugge come calcolarmela quella y?
Forse però anche qui mi sto ingarbugliando con i $EE$ e $AA$.
Ovvero so che è differente dire $EEy AAx$ e $AAx EEy$ però è una differenza molto sottile e mi ci sto perdendo.
Ovvero $EEy AAx$ lo leggo dicendo che esistema almeno una $y$ che rende $p(x,y)$ vera per ogni $x$
Invece $AAx EEy$ significa che per ogni $x$ posso trovare almeno una $y$ che rende vera $p(x,y)$
Ma poi non riesco a sfruttare bene questa cosa ai fini dell'esercizio.
Ovvero so che è differente dire $EEy AAx$ e $AAx EEy$ però è una differenza molto sottile e mi ci sto perdendo.
Ovvero $EEy AAx$ lo leggo dicendo che esistema almeno una $y$ che rende $p(x,y)$ vera per ogni $x$
Invece $AAx EEy$ significa che per ogni $x$ posso trovare almeno una $y$ che rende vera $p(x,y)$
Ma poi non riesco a sfruttare bene questa cosa ai fini dell'esercizio.
Qualche considerazione.
1. le tue variabili $x,y$ stanno in $RR^+$ e in $RR$: perchè dunque dici quadrati perfetti? Prendi $y=sqrt3$:il suo quadrato è... . Tuttavia, non pensare di essere arrivato alla fine dell'esercizio. Prova un po' a sostituire $x=1/4$: che cosa succede? Sapresti spiegare perchè? Che conclusioni puoi trarre?
2. Sui quantificatori. Anche qui faccio appello al mitico prof di Analisi e alla sue metafore molto valide a livello didattico. La faccio breve: sia $M$ l'insieme degli studenti maschi di una classe e $F$ l'insieme delle studentesse di questa classe.
$forall m in M, " " exists f in F " tale che " f " esce con " m$: il senso di questa frase? Ovvio, ogni boy ha la sua fanciulla.
$exists f in F, " " forall m in M " tale che " f " esce con " m$: questa volta la tipa è una sola, che esce con tutti i boys.
Cambia il senso, vero?
1. le tue variabili $x,y$ stanno in $RR^+$ e in $RR$: perchè dunque dici quadrati perfetti? Prendi $y=sqrt3$:il suo quadrato è... . Tuttavia, non pensare di essere arrivato alla fine dell'esercizio. Prova un po' a sostituire $x=1/4$: che cosa succede? Sapresti spiegare perchè? Che conclusioni puoi trarre?
2. Sui quantificatori. Anche qui faccio appello al mitico prof di Analisi e alla sue metafore molto valide a livello didattico. La faccio breve: sia $M$ l'insieme degli studenti maschi di una classe e $F$ l'insieme delle studentesse di questa classe.
$forall m in M, " " exists f in F " tale che " f " esce con " m$: il senso di questa frase? Ovvio, ogni boy ha la sua fanciulla.
$exists f in F, " " forall m in M " tale che " f " esce con " m$: questa volta la tipa è una sola, che esce con tutti i boys.
Cambia il senso, vero?
Umm mi sa che i calcoli che ho fatto in seconda battuta sono giusti, ma il risultato è sbagliato, ovvero riprendiamo da qui:
$sqrt(y^2+1)= 2x$
$y^2+1 = (2x)^2$
$y^2 = (2x)^2-1$
$y^2=4x^2-1$
Quindi l'affermazione logica che devo provare è $AAx in RR^+ EE y in RR$ ovvero posso prendere un qualsiasi valore di $x$ e ricavarmi una $y$ appartenente ad $RR$?
Ai numeri reali appartengono anche le radici, quindi posso dire che: $EE y= sqrt( 4x^2-1) in RR$ T.C $y^2 = 4x^2-1$
Però adesso mi sorge il dubbio se $x=0$, e $0 in RR^+$ avrei sqrt(-1) che non è un numero reale, ma bensì complesso.
Quindi, non essendo valida solo per $x=0$ posso affermare in ultima analisi che:
$EE x=0 in RR^+$ T.C p(x,y) è falsa $Per ogni Y in RR$
$sqrt(y^2+1)= 2x$
$y^2+1 = (2x)^2$
$y^2 = (2x)^2-1$
$y^2=4x^2-1$
Quindi l'affermazione logica che devo provare è $AAx in RR^+ EE y in RR$ ovvero posso prendere un qualsiasi valore di $x$ e ricavarmi una $y$ appartenente ad $RR$?
Ai numeri reali appartengono anche le radici, quindi posso dire che: $EE y= sqrt( 4x^2-1) in RR$ T.C $y^2 = 4x^2-1$
Però adesso mi sorge il dubbio se $x=0$, e $0 in RR^+$ avrei sqrt(-1) che non è un numero reale, ma bensì complesso.
Quindi, non essendo valida solo per $x=0$ posso affermare in ultima analisi che:
$EE x=0 in RR^+$ T.C p(x,y) è falsa $Per ogni Y in RR$
Mi sembrava di averti detto di provare con $x=1/4$...
"Paolo90":
Mi sembrava di averti detto di provare con $x=1/4$...
Ora provo, scusami non era per ignorarti, e che qui a scrivere le formule se ne va un secolo e solo dopo aver postato mi sono accorto del tuo messaggio precedente
No problem, tranquillo... 
"Paolo90":
Mi sembrava di averti detto di provare con $x=1/4$...
Per $x=1/4$ ho che $y^2= - 3/4$ ed anche qui, non esiste una radice di $-3/4$ tra i numeri reali. O no? è lo stesso problema se metto $x=1$, ma in questo caso non me ne basta trovare 1 che non dimostra questa regola dato che stiamo trattando un "per ogni" ?
Ad ogni modo geniale l'esempio del "per ogni e dell'esste"
Un esempio così "a scherzare" è più che utile per ricordarsi questo genere di cose
Sì, questo lo so.
Ora mi sorge un dubbio: hai studiato le disequazioni di secondo grado?
Il mio ragionamento andava oltre allo stabilire la falsità di quell'affermazione: voleva farti riflettere su come correggerla in maniera opportuna per renderla vera "per ogni" $x$ (almeno, se io fossi un prof che interroga, chiederei dapprima se è vera o falsa e poi, nel caso di falsità, le correzioni opportune).
Ora mi sorge un dubbio: hai studiato le disequazioni di secondo grado?
Il mio ragionamento andava oltre allo stabilire la falsità di quell'affermazione: voleva farti riflettere su come correggerla in maniera opportuna per renderla vera "per ogni" $x$ (almeno, se io fossi un prof che interroga, chiederei dapprima se è vera o falsa e poi, nel caso di falsità, le correzioni opportune).
"Neptune":
Ad ogni modo geniale l'esempio del "per ogni e dell'esiste"
Un esempio così "a scherzare" è più che utile per ricordarsi questo genere di cose
Indubbiamente. Felice di sapere che ti sia piaciuto.
"Paolo90":
Sì, questo lo so.
Ora mi sorge un dubbio: hai studiato le disequazioni di secondo grado?
Il mio ragionamento andava oltre allo stabilire la falsità di quell'affermazione: voleva farti riflettere su come correggerla in maniera opportuna per renderla vera "per ogni" $x$ (almeno, se io fossi un prof che interroga, chiederei dapprima se è vera o falsa e poi, nel caso di falsità, le correzioni opportune).
L'esercizio chiede di dire se è vera o falsa, e perchè, e di stabilirne poi la negazione.
Quindi che sia Falsa è Sicuro.
Ora tu dici che sarebbe utile stabilire come dovrebbe essere per renderla vera?
Ad ogni modo le dissequazioni di secondo grado non le tocco dalle superiori, e diciamo che non rientrano nel corso di matematica discreta. Ovvero, può capitare che capiti una disequazione di primo grado o un sistema di disequazioni di primo grado per "svolgere qualche esercizio", ma non è mai capitato lo sviluppo di disequazioni di 2 grado.
Però a questo punto mi hai fatto diventare curioso, tu come lo svilupperesti questa correzione? No, non chiederlo a me perchè non ne ho idea, o meglio, non sono abbastanza ferrato
E' semplice.
Non ho letto nel dettaglio ma mi pare che i tuoi conti siano corretti. Quindi alla fine si arriva a $y^2=4x^2-1$. Per poter estrarre la radice, come hai giustamente osservato tu, occorre che ambedue i membri siano positivi o nulli.
In particolare, $4x^2-1>=0$. E' una dis di II grado le cui soluzioni sono $x<= -1/2 vv x>1/2$.
Capisci dove sta il problema?
Nella formulazione del problema hai $forall x in RR^+$. Ma a crearti problemi e a inficiarti il predicato sono proprio i numeri tra $0$ e $1/2$: (0, o 1/4 come ti suggerivo io).
Quindi, se avessimo avuto
$AA x in RR^+ " tale che " x >1/2 EEy " " in RR " tale che " sqrt(y^2+1)=2x$
questo era vero.
Hai capito? Se ti confonde lascia perdere, voleva essere un aiuto.
Non ho letto nel dettaglio ma mi pare che i tuoi conti siano corretti. Quindi alla fine si arriva a $y^2=4x^2-1$. Per poter estrarre la radice, come hai giustamente osservato tu, occorre che ambedue i membri siano positivi o nulli.
In particolare, $4x^2-1>=0$. E' una dis di II grado le cui soluzioni sono $x<= -1/2 vv x>1/2$.
Capisci dove sta il problema?
Nella formulazione del problema hai $forall x in RR^+$. Ma a crearti problemi e a inficiarti il predicato sono proprio i numeri tra $0$ e $1/2$: (0, o 1/4 come ti suggerivo io).
Quindi, se avessimo avuto
$AA x in RR^+ " tale che " x >1/2 EEy " " in RR " tale che " sqrt(y^2+1)=2x$
questo era vero.
Hai capito? Se ti confonde lascia perdere, voleva essere un aiuto.
"Paolo90":
E' semplice.
Non ho letto nel dettaglio ma mi pare che i tuoi conti siano corretti. Quindi alla fine si arriva a $y^2=4x^2-1$. Per poter estrarre la radice, come hai giustamente osservato tu, occorre che ambedue i membri siano positivi o nulli.
In particolare, $4x^2-1>=0$. E' una dis di II grado le cui soluzioni sono $x<= -1/2 vv x>1/2$.
Capisci dove sta il problema?
Nella formulazione del problema hai $forall x in RR^+$. Ma a crearti problemi e a inficiarti il predicato sono proprio i numeri tra $0$ e $1/2$: (0, o 1/4 come ti suggerivo io).
Quindi, se avessimo avuto
$AA x in RR^+ " tale che " x >1/2 EEy " " in RR " tale che " sqrt(y^2+1)=2x$
questo era vero.
Hai capito? Se ti confonde lascia perdere, voleva essere un aiuto.
Nono anzi ho capito, ovvero hai dimostrato con un sistema di disequazioni che in realtà la nostra soluzione è data solo da x negative ma abbiamo detto prima che il dominio di appartenenza è $RR^+$ che è in netto contrasto con ciò che abbiamo appena trovato.
Ho provato a fare anche quest'altro esericizio per prendere dimestichezza, la traccia è vedere se è vera e trovare la negazione (che poi io credo che proprio nel non vedere che è vera devi trovare la negazione.. ma vabbè):
$AA x in ZZ, EE y in ZZ$ t.c $2*x*y=1$
Anche qui mi calcolo $y$ in funzione di $x$ e trovo che:
$y = 1/(2x)$
E' questa è falsa perchè $EE x = 1 in ZZ, AAy in ZZ$ t.c $y = 1/(2x) notin ZZ$ e questa tra l'altro è anche la negazione della proposizione iniziale, come richiesto.
Con calma.
La formula [tex]\displaystyle\exists x=1 \in \mathbb{Z}, \forall y \in \mathbb{Z} \text{ t.c. } y=\frac{1}{2x} \notin \mathbb{Z}[/tex] è formalmente sbagliata, anzi non è una formula: ponendo [tex]x=1[/tex] non hai più possibilità di quantificare la variabile [tex]x[/tex]; in secondo luogo non puoi porre [tex]\displaystyle\forall y \in \mathbb{Z} \text{ t.c. } y=\frac{1}{2x} \notin \mathbb{Z}[/tex] perché questa stringa equivale a [tex]\displaystyle \forall y, y \in \mathbb{Z} \implies (y=\frac{1}{2x}\implies y\notin\mathbb{Z})[/tex] che non ha senso, primo perché hai posto [tex]x=1[/tex], secondo perché se [tex]y \in \mathbb{Z}[/tex] non puoi porre né [tex]\displaystyle y=\frac{1}{2x}[/tex] né [tex]y \notin \mathbb{Z}[/tex], in altre parole stai scrivendo una formula che è una contraddizione che, dovendo essere la negazione della formula iniziale, non puoi ottenere.
La negazione di [tex]\forall x \in \mathbb{Z}, \exists y \in \mathbb{Z} \text{ t.c. } 2xy=1[/tex] che equivale a [tex]\forall x, x \in \mathbb{Z} \implies \exists y : y \in \mathbb{Z} \land 2xy=1[/tex] è [tex]\exists x : x \in \mathbb{Z} \land \forall y, y \notin \mathbb{Z} \lor 2xy\neq1[/tex] che ancora equivale [tex]\exists x : x \in \mathbb{Z} \land \forall y, y \in \mathbb{Z} \implies 2xy\neq1[/tex], cioè [tex]\exists x \in \mathbb{Z} : \forall y \in \mathbb{Z}, 2xy\neq1[/tex]
La formula [tex]\displaystyle\exists x=1 \in \mathbb{Z}, \forall y \in \mathbb{Z} \text{ t.c. } y=\frac{1}{2x} \notin \mathbb{Z}[/tex] è formalmente sbagliata, anzi non è una formula: ponendo [tex]x=1[/tex] non hai più possibilità di quantificare la variabile [tex]x[/tex]; in secondo luogo non puoi porre [tex]\displaystyle\forall y \in \mathbb{Z} \text{ t.c. } y=\frac{1}{2x} \notin \mathbb{Z}[/tex] perché questa stringa equivale a [tex]\displaystyle \forall y, y \in \mathbb{Z} \implies (y=\frac{1}{2x}\implies y\notin\mathbb{Z})[/tex] che non ha senso, primo perché hai posto [tex]x=1[/tex], secondo perché se [tex]y \in \mathbb{Z}[/tex] non puoi porre né [tex]\displaystyle y=\frac{1}{2x}[/tex] né [tex]y \notin \mathbb{Z}[/tex], in altre parole stai scrivendo una formula che è una contraddizione che, dovendo essere la negazione della formula iniziale, non puoi ottenere.
La negazione di [tex]\forall x \in \mathbb{Z}, \exists y \in \mathbb{Z} \text{ t.c. } 2xy=1[/tex] che equivale a [tex]\forall x, x \in \mathbb{Z} \implies \exists y : y \in \mathbb{Z} \land 2xy=1[/tex] è [tex]\exists x : x \in \mathbb{Z} \land \forall y, y \notin \mathbb{Z} \lor 2xy\neq1[/tex] che ancora equivale [tex]\exists x : x \in \mathbb{Z} \land \forall y, y \in \mathbb{Z} \implies 2xy\neq1[/tex], cioè [tex]\exists x \in \mathbb{Z} : \forall y \in \mathbb{Z}, 2xy\neq1[/tex]
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